Sommaire Eléments de calcul vectoriel - J.J. Rousseau

Cette applet permet de visualiser les opérations élémentaires du calcul vectoriel dans un repère triorthonormé Oxyz. Dans ce texte, les vecteurs sont représentés en gras. Les vecteurs ont tous comme origine le point O. Les coordonnées de l'extrémité du vecteur Vi sont xi, yi et zi.

Produit scalaire :  C'est le nombre scalaire défini par : V1.V2 = V1.V2.cos(V1,V2)      
  • Il est nul si les vecteurs sont orthogonaux.      
  • La norme N d'un vecteur est la racine carrée du produit scalaire du vecteur par lui-même.
    | V1 |² = x1.x1 + y1.y1 + z1.z1

    Produit vectoriel : C'est le vecteur V3 = (V1 x V2) qui :      
  • est normal au plan des deux vecteurs V1 et V2      
  • tel que le trièdre V1, V2 et V3 est direct.      
  • donc les composantes sont : (y1.z2 - y2.z1); (z1.x2 - x1.z2); (x1.y2 - x2.y1)      
  • la norme de V3 est l'aire du losange construit avec les vecteurs V1 et V2      
  • Il est nul si les vecteurs sont colinéaires.

    Produit mixte :    C'est le nombre scalaire défini par : pm = (V1,V2,V3) = (V1,(V2 x V3))      
  • C'est le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteurs.      
  • Il est nul si deux vecteurs sont colinéaires.
    On utilise aussi le double produit vectoriel : u x (v x w) = v.(u.w) - w.(u.v)
    et les produits de 4 vecteurs :(u x v).( w x x) = (u.w)(v.x) - (u.x)(v.w) (scalaire)
    et aussi (u x v) x ( w x x) = (u, v, x)w - (u, v, w)x qui est un vecteur.
    • Utilisation :
    Un clic sur le bouton Nouveau génère aléatoirement trois nouveaux vecteurs. Les composantes sont affichées dans les cases de saisie du panneau inférieur. Il est possible de modifier ces valeurs pour définir des vecteurs particuliers. Un clic sur les boutons « Produit » permet d'afficher les données correpondantes.
    Pour le produit vectoriel, un vecteur égal au quart du vecteur produit V3 est affiché en rouge ainsi que le losange construit sur les deux vecteurs dont on fait le produit.
    Avec les flèches du clavier, vous pouvez modifier l'angle de vision. Pour faire les projections dans le plan de l'écran, je laisse le trièdre immobile et je fais tourner l'observateur. Sa ligne de visée, normale au plan de projection, passe par l'origine O du trièdre. Elle est repérée par les angles polaires théta et phi qui sont affichés dans la barre d'état de l'applet.

    Dernière mise à jour : 31/10/13