Cube de résistances égales


On considère un cube dont chaque arête est une résistance R. On cherche la valeur de la résistance entre deux sommets du cube. Les douze résistances sont identiques. Si ce n'est pas le cas, il faut résoudre un système à 12 inconnues.

Pour résoudre simplement ce problème, il faut tenir compte des symétries et se souvenir que si des nœuds d'un réseau sont au même potentiel, on peut soit les relier par une connexion soit supprimer une connexion existante sans modifier le fonctionnement de ce réseau.

Il y a trois cas possibles : Les deux nœuds sont les sommets d'une diagonale du cube (AG), les deux nœuds sont les sommets d'une diagonale d'une face du cube (AC) et enfin les deux nœuds sont les extrémités d'une arête du cube (AB).


  1. AG est un axe ternaire. Les nœuds B, D et E sont au même potentiel ainsi que les nœuds C, F et H.
    Si on redessine le circuit en reliant les nœuds au même potentiel, on obtient trois résistances en série de valeurs R / 3 , R / 6 et R / 3.
    La résistance entre A et G vaut donc 5R / 6

  2. Comme le plan ACGE est un plan de symétrie les nœuds B et D d'une part et F et H d'autre part sont au même potentiel.
    Si on redessine le circuit en reliant les nœuds au même potentiel, on obtient en suivant le chemin AEGC R + 2(½R) + R soit 3R et ensuivant le chemin ABC 2.(½ R) soit R. Au total on a une résistance de 3R en parallèle avec une résistance R.
    La résistance entre A et C vaut 3R / 4

  3. Comme le plan ABGH est un plan de symétrie les nœuds E et D d'une part et F et C d'autre part sont au même potentiel. Si on redessine le circuit en reliant les nœuds au même potentiel, on obtient pour la branche du haut une résistance R.
    Pour la branche du bas on a en serie R / 2 (AE), une résistance R2 (entre E et F) et une résistance R / 2 (FB).
    La valeur de R2 est R / 2 en parallèle avec (R / 2 + R + R /2) soit R2 = 2R / 5
    La résistance de la branche du bas est donc 7R / 5
    La résistance entre A et B vaut 7R / 12