La représentation de Fresnel est souvent délaissée au profit de l'usage des complexes ou de la représentation analytique. C'est pourtant un outil puissant qui simplifie souvent les calculs et qui a l'avantage de bien visualiser les phénomènes étudiés.
Dans la représentation de Fresnel, on associe à une grandeur sinusoïdale du temps y(t) = Asin(ω.t + φ) le vecteur OM.
Ce vecteur a un module constant A et tourne autour de O avec la vitesse angulaire ω.
La projection du vecteur OM sur l'axe Oy représente la grandeur sinusoïdale y(t).
Exemples d'utilisation de la représentation de Fresnel
Somme de deux vibrations sinusoïdales
Cette représentation met en évidence les différences de phase entre les grandeurs à additionner et facilite l'écriture des relations trigonométriques.
A la grandeur y1(t) = A.sin(ωt + φ1) on associe le vecteur V1.
De même, à la grandeur y2(t) = B.sin(ωt + φ2) on associe le vecteur V2.
La grandeur y(t) = C.sin(ωt + φ) = y1(t) + y2(t) est la projection du vecteur V = V1 + V2 sur l'axe Oy.
Le vecteur correspondant à la somme est la diagonale du parallélogramme
construit sur les vecteurs V1 et V2.
Montrer que
tg(φ) = (Asin(φ1) + Bsin(φ2) ) / (Acos(φ1) + Bcos(φ2) ) et que C2 = A2 + B2 + 2A.B.cos(φ2 − φ1)
Cas particulier B = A
Montrer que dans ce cas φ = (φ1 + φ2) / 2 et que C = 2A.cos(φ2 − φ1) / 2).
Somme de N vibrations sinusoïdales
Ce calcul intervient dans tous les cas d'ondes multiples.
On représenté
ici le cas de quatre ondes de même amplitude déphasées du même angle φ.
La somme est représentée par le vecteur rouge.
Pour une étude détaillée de ce cas voir cette page.
Somme de trois vibrations sinusoïdales déphasées de 120°
Ce cas correspond aux courants triphasés équilibrés.
Pour une étude détaillée de ce cas voir cette page.
Circuit RLC série
On donne la représentation de Fresnel d'un circuit RLC série composé d'une résistance R = 200 Ω, L = 0,3 H et C = 20 µF.
Contrairement à l'usage le courant I dans le circuit pris comme origine des phases est représenté verticalement.
La tension aux bornes de la résistance vaut R.I
Le vecteur représentant la tension aux bornes de l'inductance a une longueur proportionnelle à I.Lω et fait un angle de + π/2 avec le vecteur R.I.
Le vecteur représentant la tension aux bornes du condensateur a une longueur proportionnelle à I / Cω et fait un angle de − π/2 avec le vecteur R.I.
Si on utilise la représentation complexe des impédances les impédances de l'inductance et du condensateur sont jLω et 1 / jCω :
La représentation de l'impédance Z = R + j ( Lω − 1 / Cω) dans le plan complexe correspond donc à le représentation de Fresnel.
Pour une étude détaillée de ce cas voir cette page.
Attention :
Dans le cas où les grandeurs étudiées sont des grandeurs vectorielles, les vecteurs tournants de la représentation de Fresnel représentent l'évolution des amplitudes au cours du temps. Ils ne correspondent pas à la direction des vibrations. Quand on étudie les phénomènes d'interférences optiques, les vibrations qui peuvent interférer ont la même direction de vibration.