On considère une masse m lancée avec une vitesse initiale v₀ faisant l'angle θ avec l'horizontale. On étudie le cas ou le frottement est proportionnel au carré de la vitesse. L'équation du mouvement est :
. μ masse volumique du fluide (kg/m3), S section droite du corps (m2) et C_x son coefficient de traînée.

Cette équation n'a pas de solution analytique.
Par projection sur les axes horizontaux et verticaux on peut l'écrire sous la forme :

puis de procéder à une intégration numérique de ce système.
Nous avons utilisé la méthode de Rünge-Kutta à l'ordre 4.
On pourra comparer les résultats pour le cas sans frottement (β / M = 0) avec la solution obtenue de façon analytique dans cette autre page.

Vitesse limite
Il est évident que la composante horizontale de la vitesse tend vers 0 : La chute va devenir verticale et la vitesse va tendre vers une limite constante.
Si V = constante alors dv / dt = 0 et de la relation (1), on tire Vlim² = g.m / β .= g.τ

Chute verticale sans vitesse initiale
Dans ce cas, on peut écrire dv / dt = g − β.v² / m = g.(1 − (v / vlim)²).
La fonction y(t) = tanh(t) admet comme dérivée dy /dt = 1 − y² . On en déduit que v(t) = Vlim.tanh(t / τ).
Comme une primitive de tanh(x) est ln(cosh(x) + Const, on tire que dans ce cas, y(t) = Vlim.τ.ln(cosh(t / τ)).

Le choix entre un frottement de type F = − k.V ou de type F = − k.V² n'est pas toujours évident.
Pour des vitesses élevées dans un fluide de faible masse volumique un frottement en − k.V² est conforme à l'expérience.
De même pour des vitesses faible dans un fluide de forte masse volumique un frottement en − k.V est vérifié par l'expérience.

Utilisation :
Le bouton [Départ] permet de lancer la masse m.
Des sliders permettent de choisir les valeurs de la vitesse initiale, de l'angle de lancement et du rapport β / m
β correspond à la traînée et dépend de la masse volumique de l'air, de la surface frontale du mobile et d'un facteur de forme Cx.
Pour un profil d'aile Cx = 0,2, pour une sphère Cx = 0,45 et pour un plan Cx = 1,30.
Si β / m est nul, on néglige les frottements.

Sans frottements :
Rechercher expérimentalement la valeur de l'angle de tir qui permet d'obtenir l'impact avec le sol le plus éloigné. Calculer cette valeur en utilisant les équations du mouvement. (Chercher la valeur de t non nulle pour laquelle y s'annule; reporter cette valeur dans l'expression de x et dériver par rapport à la valeur de l'angle.)

Avec frottements :
Rechercher expérimentalement la valeur de l'angle de tir qui permet d'obtenir l'impact avec le sol le plus éloigné. (fonction de la valeur du coefficient β / m).
Rechercher la valeur de la vitesse limite du mobile et la distance maximale atteinte.
Vérifier que pour les frottements importants la vitesse horizontale s'annule : la chute devient verticale.
Vérifier que la vitesse limite est V²y = −g.m / β.

Comparer les résultats à ceux obtenus dans le cas d'un frottement proportionnel à la vitesse.
Prendre une valeur identique pour les rapports K / M et β / M