Roulement avec et sans glissement


Cas sans glissement :
On considère un cylindre homogène de rayon R et de masse M qui roule sans glisser sur un plan incliné.
Soit φ l'angle du plan incliné avec l'horizontale.
Le cylindre est soumis à son poids M.g et à la réaction du support. Cette réaction se décompose en une composante normale FN au plan et une composante tangentielle FT.
On peut également décomposer le poids en une composante tangentielle M.g.sinφ et une composante normale M.g.cosφ.
Soient G le centre de gravité du cylindre, A la trace de sa génératrice en contact avec le plan, I = ½.M.R2 son moment d'inertie par rapport à son axe de rotation, V la vitesse du centre de gravité (qui est aussi la vitesse de translation du mobile) et ω la vitesse angulaire du cylindre.
La projection de l'équation du principe fondamental sur un axe parallèle au plan donne :
M.dV / dt = M.g.sinφ - FT. (1)
Le théorème du moment cinétique donne :
I.d? / dt = FT.R (2).
La condition de roulement sans glissement est que la vitesse du point A soit nulle.
La loi de composition vectorielle des vitesses étant : VA = VG + AG ∧ ω, la condition VA = 0 implique que :
VG = V = R.ω. (3)
A partir des relations (1), (2) et (3) établir que dV / dt = γL = (2.g.sin φ) / 3, que γA = γL / R et que l'intensité de la composante tangentielle de la réaction du support est FT = M.g.sin φ /3.
Comparer ces résultats avec ceux d'un parallélépipède glissant sur un plan incliné.

Cas avec glissement :
Soit μ la valeur du coefficient de frottement statique du cylindre sur le plan.
Pour qu'il n'y ait pas de glissement, il faut que FT < μ.FN. Comme FN = M.g.cos φ, il faut que μ ≥ tan φ / 3.
Cette fois on a les relations suivantes :
mg.sinφ − μ.mg.cosφ = m.γL. μ.mg.cosφ.R = ½.m.R2R.
On tire : γL = g(sinφ − μ.cosφ) et γA = 2.g.μ.cosφ / R.

Utilisation :
Un click sur le bouton [Départ] libère le cylindre et déclenche le chronomètre. Celui-ci s'arrête quand le mobile a parcouru 1 m
Le vecteur vitesse de G est tracé en bleu et FT en indigo.
On prend R = 5 cm et une vitesse initiale nulle.

Cas sans glissement :
Pour plusieurs valeurs de φ, vérifier que le mouvement est uniformément accéléré (Vérifier que 2x / t2 est constant) et vérifier que la valeur de l'accélération est bien égale à (2.g.sin φ ) / 3 et que la valeur de la vitesse finale est indépendante de μ.

Cas avec glissement :
Vérifier que la durée necessaire pour parcourir 1 m est fonction de la valeur de μ.