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Jacques Bernoulli
1654-1705
Mathématicien suisse.

Camille Gerono
1799-1891
Mathématicien français




Traceurs de lemniscate


On présente ici des dispositifs qui permettent le tracé de lemniscates de Bernoulli et de Gérono.

Lemniscate de Bernoulli
C'est le lieu des points M tels que le produit MA.MB = a2 est constant. A et B sont les foyers et AB = 2a.
L'équation cartésienne de la lemniscate est (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2).
L'équation polaire est ρ2 = a2.cos(2θ) .
Les équations paramétriques sont : x = a.sin(t) / (1 + cos2(t)) et y = a.sin(t).cos(t) / (1 + cos2(t))
Dans le premier système de tracé, on utilise 5 barres articulées autour des pivots O1 et O2 fixes, et M, P et Q mobiles.
La barre O1P décrit un cercle de rayon a. On a également O1 O2 = a, et PM = MB = PQ = QA = O2M = O2Q = b = a√2 / 2.
Les points A et B décrivent la lemniscate de foyers O1 et O2 .
Dans la seconde méthode, on utilise seulement 3 tiges articulées. Les pivots A et B sont fixes (foyers).
On a : AB = 2a, AM = BQ = a√2 et MQ = 2a. Cette machine est un cas particulier de la machine de Watt.

Lemniscate de Gérono
Ses équations paramétriques sont : x = a.sin(t) et y = a.sin(t).cos(t).
L'équation cartésienne de cette lemniscate est x4= a2(x2 − y2).
C'est une courbe de Lissajous particulière.