Chute libre


On lance un objet de masse m avec une vitesse initiale V0 faisant un angle θ positif avec la direction horizontale. Les solutions analytiques du problème sont connues pour le cas sans frottement et pour le cas d'une une force de frottement proportionnelle à la vitesse.
On trace simultanément toutes les trajectoires pour θ variant de 5° à 90° avec un pas de 5°. Ceci permet de mettre en évidence certaines propriétés de celles-ci.

Cas sans frottement :
a)- On constate que la distance horizontale maximale est atteinte pour θ = 45°. Cette trajectoire est tracée en rouge.
b)- On constate que la masse retombe au sol à la même distance de l'origine pour des angles de lancement égaux à (π / 4 − α) et (π / 4 + α).
c)- On constate que les points du plan de lancement pouvant être atteints sont contenus dans un domaine délimité par les axes Ox et Oy et par une parabole. Dans le programme, celle-ci est tracée en violet.
d)- On constate que les les points d'altitude maximale de chaque trajectoires (cercles verts) sont disposés sur une ellipse.

Justifications :
Les équations paramétriques de la trajectoire sont :
   x = V0.cos(θ).t (1)
   y = V0.sin(θ).t − ½.g.t2.(2)
Le mobile retombe sur le sol pour y = 0 soit pour t = 2.V0.sin(θ) / g. Donc xdh = V02.sin (2θ) / g.
a)- La valeur maximum de xdh est donc atteinte pour θ = 45 °.
b)- sin (π / 2 − 2.α) = sin (π / 2 + 2.α) donc xdh est le même pour des angles de lancement égaux à (π / 4 − α) et (π / 4 + α).
c-) En éliminant le temps dans les équations (1) et (2), on tire :
y = x.tan(θ) − g.x2 / 2.V02.cos2(θ) (3)
or 1 / cos2(θ) = 1 + tan2(θ)
L'équation (3) est équivalente à : tan2(θ) − tan(θ).2.V02 / g.x + ( 1 + 2.V02.y / g.x2) (4)
Cette équation du second degré en tan(θ) admet zéro, une ou deux solutions selon la valeur de son discriminant Δ.
Δ < 0 correspond aux points du plan de lancement qui ne peuvent être atteints par le mobile.
Δ > 0 correspond aux points qui peuvent être atteints par le mobile pour deux valeurs différentes de θ.
Δ = 0 correspond aux points de la courbe limite pouvant être atteints par le mobile.
Montrer que la courbe correspondante est la parabole d'équation y = − g.x2 / 2.V02 + V02 / 2.g
Cette parabole est la parabole de sécurité : Aucun point situé au delà de celle-ci ne peut être atteint par le mobile.
d-) Pour une trajectoire donnée, l'altitude maximale est atteinte lorsque Vy = 0 à l'instant t = V0.sin (θ) / g.
En déduire que les points d'altitude maximale sont situés sur l'ellipse d'équation :
    x2 / 4.k2 + (y − k)2 / k2 = 1 avec k = V02 / 4. g

Cas avec frottement :
Aucune des constatations précédentes n'est valide. En particulier on peut noter que pour des frottements importants la distance maximale est atteinte pour une valeur de θ < 45°.

Utilisation :
Régler la valeur de la vitesse initiale puis cliquer sur le bouton [Tracé] pour lancer l'animation.
Pour une étude avec un frottement proportionnel à la vitesse régler la valeur de celui-ci.
Les axes Ox et Oy sont gradués en mètres.