On désigne par J, R et N, les vecteurs unitaires portés par le rayon incident, le rayon réfléchi ou réfracté et la normale au dioptre (surface réfléchissante ou transparente).

Lois de la réflexion
Le rayon réfléchi est contenu dans le plan d'incidence formé par le rayon incident et la normale à la surface :
Les vecteurs J, R et N sont coplanaires.
D'autre part la relation R.N = − J.N traduit le fait que le rayon réfléchi est symétrique du rayon incident par rapport à la normale.
On peut regrouper ces deux relations en écrivant que le vecteur (J − R) est colinéaire avec N soit : (J − R) = − T = k.N
Pour déterminer k, on multiplie scalairement les deux membres par N.
(J − R).N = k = 2.cos( i )

J − R = 2.cos( i).N

Lois de la réfraction
Le rayon réfracté est contenu dans le plan d'incidence formé par le rayon incident et la normale à la surface :
Les vecteurs J, R et N sont coplanaires.
Donc les produits vectoriels J ∧ N et R ∧ N sont colinéaires.
La loi des sinus peut donc se traduire par la relation : N1. J ∧ N = N2.R ∧ N
Cette relation implique que le vecteur (N1. J − N2.R) est colinaire avec N : (N1. J − N2.R) = pN
Pour déterminer p, on multiplie scalairement les deux membres par N.
p = (N1. J.N − N2.R.N)

N2.R = N1.J + [N2.cos( r) − N1.cos( i )].N

Intérêt de ces relations
Quand on étudie un seul miroir ou un seul dioptre, ces relations ne présentent que peu d'intérêt Par contre quand le système étudié présente plusieurs réflexions ou réfractions cette formulation permet de simplifier les calculs.
Un rayon qui part d'un point x0, y0, z0 et dont les cosinus directeurs de J sont cos α, cos β et cos γ a pour équation paramétrique X = (cos α).t + x0; Y = (cos β).t + y0 et Z = (cos γ).t + z0.
Si ce rayon rencontre un plan d'équation normale a.X + b.Y + c.Z + d = 0, on détermine t par substitution puis les coordonnées (x1, y1, z1) du point de contact du rayon avec la surface de vecteur normal (a, b, c).
L'utilisation des relations précédentes permet de déterminer le vecteur R = (cos α1, cos β1, cos γ1).
L'équation paramètrique du rayon réfléchi ou réfracté est donc X = (cos α1).t + x1 ; Y = (cos β1).t + y1 et Z = (cos γ1).t + z1.
On procède ainsi de proche en proche.

On peut noter que c'est Descartes qui a aussi posé les bases de la géométrie analytique.

Utilisation
Le plan jaune (vue de dessus) ou gris (vue de dessous) est le plan tangent au dioptre au point d'incidence.
Le plan vert est le plan d'incidence.
Le rayon incident est tracé en rouge et le rayon réfléchi ou réfracté en bleu.