Trois miroirs plans orthogonaux


On considère trois miroirs plans orthogonaux M1 (bleuté, plan x = 0), M2 (orangé, plan y = 0) et M3 (vert, plan z = 0).
Avec un rayon laser, on vise le point B du plan M3. Les cosinus directeurs du rayon incident sont cosα, cosβ et cosγ.
S'il se produit une suite de réflexions sur les trois miroirs alors le rayon émergent est parallèle au rayon incident.

Démonstrations :
a) Une réflexion sur un miroir plan est équivalente à une symétrie par rapport à un plan. On démontre en théorie des groupes que l'opérateur de symétrie équivalent au produit de trois symétries par rapport à trois miroirs orthogonaux est un centre de symétrie.
b) Lors d'une réflexion sur un miroir plan, le rayon réfléchi est symétrique du rayon incident par rapport au plan du miroir.
Si les cosinus directeurs du rayon incident sont cosα, cosβ et cosγ, les cosinus directeurs du rayon réfléchi par le miroir M3 sont cosα, cosβ et −cosγ. Après une réflexion sur M2, les cosinus directeurs sont cosα, −cosβ et −cosγ. Après une troisième réflexion sur M1, les cosinus directeurs dur rayon émergent sont : −cosα, −cosβ et −cosγ. Ce rayon a une direction opposée à celle du rayon initial.
C'est cette méthode qui a été utilisée dans le programme.
c) Soient u et u' les vecteurs unitaires selon la direction des rayons incident et réfléchi par un miroir, n et t les vecteurs unitaires normaux et tangentiels du miroir dans le plan d'incidence et i l'angle d'incidence. On a :
u = sini.t − cosi.n et u' = sini.t + cosi.nu' − u = 2.cosi.n = − 2.(u.n).n u' = u − 2.(u.n).n
Soient n1, n2 et n3 les vecteurs unitaires normaux aux trois plans réflecteurs.
Les vecteurs unitaires sur les rayons sont après une, deux ou trois réflexions :
u1 = u − 2(u.n1).n1 ; u2 = u1 − 2(u1.n2).n2 ; u3 = u2 − 2(u2.n3).n3 ;
Comme les miroirs sont orthogonaux deux à, deux, on tire : u1.n2 = u.n2 et u2.n3 = u.n3
Donc u3 = u − 2[(u.n1).n1 + (u.n2).n2 + (u.n3).n3]
Et comme u = (u.n1).n1 + (u.n2).n2 + (u.n3).n3, on tire u3 = −u ;

Applications :
Cette propriété est utilisée dans les catadioptres des véhicules qui sont constitués par un ensemble de petits coins de cube.
On a déposé sur la Lune plusieurs panneaux de coins optiques. On les éclaire avec un laser à impulsion placé au foyer d'un télescope pointé sur le réflecteur et on mesure le temps entre le départ de l'impulsion et son retour sur Terre. Avec cette méthode, il est possible de mesurer la distance Terre - Lune avec une précision de quelques centimètres.

Utilisation :
Trois curseurs permettent de modifier les valeurs des cosinus directeurs du rayon incident.
Une case à cocher permet d'afficher les vecteurs normaux au miroirs aux point de réflexion.
Utiliser la souris pour modifier l'angle de vision.
Le rayon incident est dessiné avec un trait gras afin de pouvoir l'identifier.
Le programme affiche divers messages décrivant la situation étudiée.
Orienter la vision pour placer les projections des miroirs parallèles ou perpendiculaires au plan de l'écran.
(θ = 0° ou 90° et ψ = 0° ou 90°).
Examiner les cas cosα = 0 , cosβ = 1 et cosα = 1 , cosβ = 0 (le rayon incident est parallèle à un miroir) qui correspondent à la réflexion d'un rayon par deux miroirs orthogonaux.

C'est le fait qu'il est très difficile de trouver des schémas de la réflexion sur trois miroirs orthogonaux qui m'a donné l'idée d'écrire ce programme. Les projections obtenues à partir du programme montrent que la réalisation d'un schéma lisible et démonstratif n'est pas triviale.