Optique géométrique

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Miroirs sphériques - Dioptres sphériques.

Miroirs et dioptres sphériques sont des systèmes centrés simples dont l'étude montre l'intérêt et les limites de l'approximation de Gauss. Ce sont des systèmes de révolution et on conduit l'étude dans un plan contenant l'axe optique. Selon la première loi de Descartes un rayon incident contenu dans ce plan est réfléchi ou réfracté dans ce plan.

  Miroirs sphériques

Si la surface réfléchissante est tourne vers le centre, le miroir est concave sinon il est convexe.

Stigmatisme des miroirs sphériques

Une source ponctuelle A émet un rayon AC passant par le centre du miroir. Ce rayon se réfléchit sur lui-même en S. La normale au miroir en J est CJ. Le rayon AJ arrive sur le miroir avec l'incidence i. Il se réfléchit avec l'angle de réflexion r = − i. Ce rayon coupe l'axe optique en A'. CJ est la bissectrice de l'angle AJA'. Soit K l'intersection de la normale au dioptre en J avec l'axe optique. JK est donc la médiatrice extérieure de l'angle AJA'.

Les points A, B, C et K forment donc une division harmonique et 1 / CA + 1 / CA' = 2 / CK. (a)
Il y a stigmatisme si la position de B ne dépend pas de celle de J.
A et C sont fixes. B serait fixe si K était fixe ce qui n'est pas le cas.

CK = CS / cos α → 1 / CA + 1 / CA' = 2.cos α / CS.
Finalement : CA' = CA.CS / (2CA.cosα − CS)

CA' est fonction de α : Le miroir sphérique n'est pas stigmatique pour un point source quelconque.
Par contre le miroir est stigmatique pour son centre.

Stigmatisme approché
Si α est petit alors cos α est égal à 1 au second ordre près.
La relation précédante devient 1 / CA + 1 / CA' = 2 / CS
Si F le milieu de CS, on peut aussi écrire que : 1 / CA + 1 / CA' = 1 / CF

Dans l'hypothèse du stigmatisme approché, les points A, C, A' et S forment aussi une division harmonique.

On obtient l'équation des valeurs conjugués : 1 / SA + 1 / SA' = 2 / SC = 1 / SF .

Cas particuliers
a) SA = SC = R. On obtient SA' = SA = SC. On retrouve bien le fait que le centre du miroir est sa propre image.
b) SA = ∞. Dans ce cas SA' = SF. L'image d'un point à l'infini est située en F milieu de SC.

F est le foyer image du miroir. Il est réel pour un miroir concave et virtuel pour un miroir convexe.
SF est la distance focale du miroir. Elle est négative pour un miroir concave et positive pour un convexe.
Si un rayon passe par F, il émerge parallèle à l'axe optique : F est aussi foyer objet.

Illustration du stigmatisme des miroirs sphériques

Construction des images

En utilisant des rayons particuliers, il est aisé de construire l'image d'un objet.

L'animation présente la construction de l'image pour différentes positions de l'objet.
La construction est effectuée en utilisant un rayon passant par le sommet qui se réfléchit symétriquement par rapport à l'axe optique au lieu de prendre le rayon passant par le centre, En effet les constructions utilisant ce rayon donnent souvent des rayons très inclinés sur l'axe.
Comme exercice, on peut reprendre les constructions avec le rayon passant par le centre du miroir.

Relations de conjugaison

L'objet AB donne une image A'B'. De la similitude des triangles ABS et A'B'S on tire : A'B' / AB =− SA' / SA Ce rapport entre la dimension de l'image et celle de l'objet est le grandissement linéaire γ

En prenant l'origine au sommet du dioptre, les relations de conjugaison sont :

De la similitude des triangles ABF et KSF on tire : SK / AB = A'B' / AB = FS / FA = γ
De la similitude des triangles A'B'F et HSF on tire : A'B' / SH = A'B' / AB = FA' / FS = γ

De l'égalité du grandissement, on tire les relation de Newton : FA.FA' = FS² et γ = FS / FA = FA' / FS

Le produit FA.FA' étant toujours positif, l'image et l'objet sont toujours du même côté du foyer.

Positions des objets et des images

On a : SA' = SF.SA / (SA − SF) et γ = − SA' / SA = SF / ( SF − SA) La fonction SA' = f(SA) est une hyperbole équilatère. Elle admet comme asymptotes SA = SF et SA' = SF. Miroir concave ( SF < 0) Objet réel à − ∞. L'image est réelle et dans le plan focal. Un point B dont la distance angulaire avec l'axe optique est α donne une image dans le plan focal à l'intersection de ce plan et d'un axe secondaire BC (dessiné en tirets oranges). Objet réel entre − ∞ et 2f. L'image est réelle, inversée et plus petite que l'objet.   Objet réel situé en C (à 2f) L'image est réelle, inversée et égale à l'objet. Le grandissement vaut −1.   Objet réel entre 2f et f. L'image est réelle, inversée et plus grande que l'objet.

Objet réel situé au foyer L'image réelle est à l'infini.

Objet réel entre F et S. L'image est virtuelle, droite et plus grande que l'objet.

Objet virtuel entre S et +∞. L'image est virtuelle droite et plus petite que l'objet.

Miroir convexe ( SF > 0)

Objet réel à − ∞. L'image est virtuelle droite et dans le plan focal.
Un point B dont la distance angulaire avec l'axe optique est α donne une image dans le plan focal à l'intersection de ce plan et d'un axe secondaire BC (dessiné en tirets oranges).

Objet réel entre − ∞ et S L'image est virtuelle, droite et plus petite que l'objet.

Objet virtuel entre S et F L'image est réelle, droite et plus grande que l'objet.

Objet virtuel situé au foyer L'image réelle est à l'infini.

Objet virtuel entre f et 2f. L'image est virtuelle, inversée et plus grande que l'objet.

Objet virtuel situé en C (à 2f) L'image est virtuelle, inversée et égale à l'objet. Le grandissement vaut −1.

Objet virtuel entre 2f et +∞. L'image est virtuelle inversée et plus petite que l'objet.

Mesure optique du rayon du miroir

On peut utiliser les formules de conjugaison mais il est plus précis de faire une autocollimation sur le centre. En effet si l'objet est dans un plan normal à l'axe optique passant par le centre, l'image est située dans le même plan et elle est de même grandeur et inversée.

Dioptre sphérique

Un dioptre sphérique est une calotte sphérique qui sépare deux milieux transparents homogènes isotropes d'indices N1 et N2. Le plan contenant l'axe optique et le rayon incident forment le plan d'incidence. Le rayon réfracté est contenu dans ce plan.

Stigmatisme du dioptre sphérique

Une source ponctuelle A1 émet un rayon A1C passant par le centre du dioptre. Ce rayon arrive sous incidence nulle et n'est pas dévié.. La normale au dioptre en J est CJ. Le rayon A1J arrive sur le dioptre avec l'incidence i1. Il est réfracté avec un angle de i2 tel que N1.sin i1 = N2.sin i2 Ce rayon coupe l'axe optique en A2. La partie JA2 est virtuelle.

Dans les triangles CJA1 et CJA2, on a : CA1 / sin i1 = JA1 / sin α et CA2 / sin i2 = JA2 / sin α .
Or N1.sin i1 = N2.sin i2
On en déduit que N1.CA1 / JA1 = N2.CA2 / JA2 .
La quantité N.CA / JA constitue un invariant de la réfraction.

Stigmatisme rigoureux
Il y a stigmatisme rigoureux si la position du point B ne varie pas quand J se déplace sur la surface du dioptre.

Si CA1 = 0, alors CA2 = 0 : Le dioptre est stigmatique pour son centre.
Si JA1 / JA2 est constant, il y a également stigmatisme rigoureux. Ce rapport est constant si le dioptre coïncide avec la sphère lieu des points dont le rapport des distances à deux points fixes est constant.

L'invariant N.CA / JA s'applique quand J est confondu avec S.
N1.CA1 / SA1 = N2.CA2 / SA2 soit N1.CA1 / (SC + CA1 = N2.CA2 / (SC + CA2) (a)

Si T est l'autre extrémité du diamètre CS, on a aussi SA1 / SA2 = − TA1 / TA2 et −N1.CA1 / TA1 = N2.CA2 / TA2.
N1.CA1 / (TC + CA1)= N2.CA2 / (TC + CA2) (b)
En combinant les relations (a) et (b), on tire ;

CA1 = SC.N2 / N1 et CA2 = SC.N1 / N2

Ces points conjugués rigoureusement stigmatiques sont connus sous le nom de points d'Young-Weierstrass.
Un des points est virtuel et l'autre réel. Ils sont situés tous les deux du même côté du centre de la sphère.

Stigmatisme approché
Il y aura stigmatisme approché si J est voisin du sommet (conditions de Gauss).

On pose d = JS i1 = β1 − α = − d / SA1 + d / SC i2 = β2 − α = − d / SA2 + d / SC Or N1.i1 = N2.i2 N1(1 / SC − 1 / SA1) = N2(1 / SC − 1 / SA2) Ou encore N1 / SA1 − N2 / SA2 = (N1 − N2) / SC

 

Formules de conjugaison

Cas particuliers :

--> SA1 = SC entraîne SA2 = SC : on retrouve le fait que le centre optique est sa propre image.

--> SA1 = −∞ alors SA2 = SFi = SC.N2 / (N2 − N1).

Fi est le foyer image. A un rayon incident parallèle à l'axe, correspond un rayon réfracté qui passe par Fi.

Si Fi est réel, le dioptre transforme un faisceau parallèle en un faisceau convergent qui passe par Fi : le dioptre est dit convergent.

Si Fi est virtuel, le dioptre transforme un faisceau parallèle en un faisceau divergent qui passe par Fi : le dioptre est dit divergent.

--> SA2 = ∞ alors SA1 = SFo = SC.N1 / (N1 − N2).
Fo est le foyer objet. A un rayon incident passant par Fi correspond un rayon réfracté parallèle à l'axe.

On a A1B1 = SJ et A2B2 = SK La similitude des triangles A1B1Fo et FoSK donne : A1B1 / A2B2 = − SFo / FoA1 La similitude des triangles A2B2Fi et FiSJ donne : A1B1 / A2B2 = − FiA2 / SFi

En écrivant l'égalité de ces deux expressions du grandissement, on obtient la relation de conjugaison de Newton avec origines aux foyers : SFo.SFi = FoA1.FiA2 .

Relations de conjugaison du dioptre sphérique

Origine au sommet Origine au centre     Origines aux foyers

Foyer objet Foyer image     Grandissement

Remarque :

En faisant R = ∞ on retrouve les formules du dioptre plan.
En faisant N2 = − N1, on retrouve les formules des miroirs sphériques.

Positions des images

Construction des images.
Un objet A1B1 donne une image A2B2. Si A1 est sur l'axe optique A2 est également sur cet axe. Pour construire B2, on utilise des rayons particuliers.

* Tous les rayons passant par le centre du dioptre ne sont pas déviés.
* Tous les rayons parallèles à l'axe optique (qui correspondent à un objet à l'infini) passent par le foyer image.
* Tous les rayons issus du foyer objet émergent parallèlement à l'axe optique.

Pour les constructions, on a utilisé les deux premiers rayons.

Cas des objets à l'infini.
Si le plan objet est à l'infini, le plan image est dans le plan focal image. Pour un faisceau faisant l'angle θ avec l'axe optique, le point de convergence est situé à l'intersection du plan focal image avec le rayon passant par O, incliné de θ sur l'axe optique.

Le programme permet de choisir R positif ou négatif et N1 > N2 ou N1 < N2.
Vérifier que les quatre possibilités offertes correspondent en fait à un dioptre divergent et à un dioptre convergent (principe du retour inverse de la lumière).
Le programme permet d'étudier aussi le cas N2 = − N1 qui correspond au miroir mais dans ce cas, l'échelle utilisée n'est pas optimale.

Un curseur de couleur cyan permet de repérer les positions des points A1 et A2 et de vérifier les formules de conjugaison.

Relation de Lagrange-Helmholtz

SJ = −SA1.tan α1 = −SA2.tan α2 Dans les conditions de Gauss, on peut écrire : SA1.α1 = SA2.α2. (a) Or A2B2 / A1B1 = N1.SA2 / N2.SA1 (grandissement) Donc N1.SA2.A1B1 = N2.SA1.A2B2 En tenant compte de la relation (a), on obtient : N1.A1B1.α1 = N2.A2B2.α2

Cette relation dite de Lagrange-Helmholtz indique que la quantité N.AB.α est un invariant pour la réfraction.

En faisant N1 = −N2, on obtient une relation identique pour les miroirs sphériques.