Optique géométrique
Réfraction - Dioptre plan
La réfraction
Seconde loi de Descartes
- Le rayon réfracté est dans le plan d'incidence.
- Les angles d'incidence i1 et de réfraction i2 sont liés par la relation N1.sin(i1) = N2.sin(i2).
Milieu incident moins réfringent
(N1 < N2)
i1 peut varier entre 0° et 90°. sin(i2) est toujours plus petit que sin(i1). i2 est inférieur à i1 : Il existe toujours un rayon réfracté. Lors de la traversée du dioptre, il se rapproche de la normale.
pour l'incidence rasante (i1 = 90°) i2 atteint sa valeur maximum λ = arcsin( N1 / N2) qui est l'angle de réfraction limite.
Milieu incident plus réfringent
(N2 < N1)
Si i1 est inférieur à λ, il existe un rayon réfracté et un rayon réfléchi.
Si i1 est supérieur à λ il n'y a plus de rayon réfracté. Toute la lumière du rayon incident se retrouve alors dans le rayon réfléchi. Le pouvoir réflecteur très petit pour l'incidence normale croît brutalement au voisinage de l'angle limite et atteint la valeur 1 au-delà. Il y a réflexion totale.
Illustration
On utilise un cylindre droit vertical d'indice N découpé selon un plan diamétral (lentille hémicylindrique).
En mode "normal", on envoie un rayon lumineux horizontal vers l'axe du cylindre.
En mode "inverse", le rayon incident arrive sur le cylindre avec une incidence nulle : il n'est pas dévié.
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Dioptre plan
Stigmatisme du dioptre plan
A est un point source. Le rayon AS normal au dioptre n'est pas dévié. Or JS = SA.tan i1 = SA'.tan i2. |
Le rapport de leurs tangentes ne l'est pas sauf si on peut confondre le sinus et la tangente c'est-à-dire si les angles sont petits. Le dioptre plan n'est pas rigoureusement stigmatique.
Il est stigmatique pour sa surface car chaque point est son image. On peut aussi le considérer stigmatique pour un point à l'infini car l'image est aussi à l'infini.
Stigmatisme approché
On peut écrire la relation SA.tan i1 = SA'.tan i2 sous la forme SA' = SA.sin i1.cos i2 / sin i2.cos i1
En utilisant la loi de Descartes, il vient : SA' = SA.N2.cos i2 / N1.cos i1
Si i1 et i2 sont petits, on peut écrire au second ordre près que les cosinus sont égaux à 1 et que SA' = SA.N2 / N1
Relation de conjugaison
Dans le cas des rayons peu inclinés sur l'axe optique on a un stigmatisme approché et le dioptre plan donne d'un objet A une image B telle que SB = SA.N2 / N1
SA et SB étant de même signe, A et B sont du même côté du dioptre.
Si l'objet est réel, l'image est virtuelle et réciproquement.
NB : Sur la figure, pour la clarté du schéma, les rayons sont très inclinés sur l'axe.
Lame à faces parallèles
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La lame d'épaisseur e, placée dans l'air, est limitée par deux dioptres plans parallèles. Son indice est N. Un rayon incident AJ arrive sur la lame avec l'incidence i. Le rayon réfracté JK a l'incidence r telle que sin i = N.sin r. Le rayon de sortie est déplacé latéralement de JH = JK.sin (i − r). |
Stigmatisme d'une lame
Faisceau parallèle.
Faisceau divergent. Une source ponctuelle A est placé sur la normale S1A. Le dioptre d'entrée en donne une image virtuelle A' telle que : Il vient : AB = AS1 + S1S2 + S2B S2B = S2A' / N = (S2S1 + S1A') / N Finalement on obtient : AB = e (N − 1) / N
Pour une lame de verre ( N = 1,5) placée dans l'air, on a AB = e / 3. Sur la figure on peut observer que cette relation n'est valable que pour des rayons peu inclinés sur l'axe. |
Dans le cas du stigmatisme approché (rayons peu inclinés sur l'axe), la lame à faces parallèles donne d'un point objet réel A une image virtuelle B située sur la normale AS à la lame.
Exemples
Arc en ciel
L'arc en ciel est un phénomène complexe qui résulte de réfractions multiples de la lumière dans les gouttelettes d'eau de nuages peu denses et transparents.
On considère les rayons ayant subit deux réfractions et une réflexion dans la goutte supposée sphérique.
Le programme trace de tels rayons pour le rouge (n = 1,3307), le vert (n = 1,3334) et le bleu (n = 1,3435).
Dans le cas du tracé en lumière blanche, les valeurs des indices sont fortement modifiées pour augmenter la séparation des rayons et améliorer la lisibilité.
La déviation d'un rayon arrivant sur la goutte sous l'incidence i et ayant subit deux réfractions et une réflexion est égale à : D = π − (4.r − 2.i)
Comme les angles i et r sont liés par la relation sin i = n. sin r, cette déviation présente un minimum quand i varie.
dD / di = 2(1 − 2.dr / di)
mais cos i.di = n cos r.dr
dD / di = 2(1 − 2.cos i / n.cos r)
Cette dérivée s'annule si 2.cos i = n.cos r
Donc dD / di = 0 si sin 2i = (4 − n2) / 3
Pour les gouttes d'eau n est voisin de 4/3.La courbe α = f( i ) montre que l'angle α = (D − π) correspondant est voisin de 42°.
Pour cette direction d'observation, il y a accumulation de lumière.
Comme l'indice est fonction de la longueur d'onde, la direction d'accumulation est aussi fonction de la longueur d'onde de la lumière.
A cause de la symétrie de révolution l'observateur voit des arcs colorés.
Le rouge est situé à l'extérieur et le violet à l'intérieur. Comme il y a un important recouvrement des rayons, les plages colorées sont délavées.
Si le soleil fait un angle supérieur à 42° au dessus de l'horizon, il est impossible d'observer l'arc en ciel. Le fait que le soleil n'est pas une source ponctuelle contribue également au recouvrement des rayons.
En choisissant "Formation" dans la liste, on peut voir la géométrie nécessaire pour que l'on puisse observer le phénomène.
Il est parfois possible d'observer un arc double : le second arc correspond à des rayons ayant subit deux réflexions à l'intérieur de la goutte. Il correspond à un angle d'observation β = π + 2.i − 6.r ; cet angle présente un extremum pour environ 51°.
On voit sur les schémas que les couleurs de cet arc sont inversées par rapport à l'arc principal.
Remarque :
Pour faire une étude complète du phénomène, il est nécessaire de prendre en compte tous les rayons lumineux.
À chaque interface eau-air, il y a un rayon réfléchi et un rayon réfracté. À chaque interface, il faut calculer l'intensité de la lumière transmise et de la lumière réfléchie pour chaque type de polarisation en utilisant les relations de Fresnel. On montre ainsi, en faisant l'hypothèse que pour le rayon incident, on a une lumière naturelle mélange de 50 % de lumière polarisée parallèle et de 50 % de lumière polarisée perpendiculaire, que pour l'arc normal l'amplitude transmise est de l'ordre de 3 % de l'amplitude initiale (composante perpendiculaire) et qu'elle est pratiquement nulle pour la composante parallèle : La lumière d'un arc en ciel est donc fortement polarisée.
Illusions optiques liées à la réfraction
Comme illustration des phénomènes de réfraction le programme suivant présente deux illusions d'optique.
Crayon brisé
Dans un récipient cylindrique transparent à demi rempli d'eau, on place verticalement un crayon à demi immergé. On déplace le crayon le long du diamètre normal à la ligne de visée de l'observateur. A cause de la réfraction par le dioptre cylindrique, la partie immergée du crayon située à la verticale de A semble située à la verticale de D.
Pour déterminer la position du point D, il faut déterminer le rayon issu de A qui passe par le point O (œil de l'observateur).
Exercice :
On nomme α l'angle COB, β l'angle OCB, γ l'angle entre BA et la droite horizontale passant par B.
On pose
k = CA / R, D = OC.
Montrer que le point B est tel que tan(γ) = (sin(β) − k) / cos(β). (a)
La valeur de l'angle γ est fonction de R, D, k, N, α et β.
L'équation (a) ne peut être résolue que numériquement par une méthode de zéro.
Tube de thermomètre
On examine un tube cylindrique en verre de rayon extérieur R1 et de rayon intérieur R2 rempli par un liquide opaque.
L'œil de l'observateur est placé en O.
On pose αM la valeur de l'angle entre OC et la tangente OL1 à R1.
La largeur apparente du tube extérieur est donc pour l'opérateur L1 = 2R.cos(αM).
Pour déterminer la largeur apparente du tube intérieur, il faut chercher la valeur de l'angle α (COB) qui donne après réfraction en B un émergent qui est tangent au cercle de rayon R2.
Le rayon réfracté en B coupe le cercle de rayon R2 en 0, 1 ou 2 points. Le rayon tangent correspond à la racine double de l'équation du second degré obtenue en cherchant l'intersection du rayon BA avec le cercle de rayon R2.
Il correspond à la valeur nulle du discriminant Δ de cette équation.
Δ est une fonction de α, N, R1, R2, D = OC. La recherche de son zéro ne peut être résolue que numériquement.
