Icosaèdre

L'icosaèdre régulier est un solide convexe à 20 faces.
Les faces sont des triangles équilatéraux.
L'icosaèdre comporte 12 sommets et 30 arêtes.
L'icosaèdre régulier est l'un des 5 solides de Platon (polyèdres réguliers convexes : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre pentagonal et icosaèdre).

Dans le repère orthonormé utilisé ici les coordonnées des 12 sommets sont :

(± φ, ± 1, 0); (0, ± φ, ± 1); (± 1, 0, ± φ);
avec : φ = ½(1 +√5) (nombre d'or).

La symétrie de l'icosaèdre est celle du groupe I_h ( 5 3 m ).

Les éléments du groupe sont :
E, 12 C₅, 12 C²₅, 20 C₃, 15 C₂, i,
12 S₁₀, 12 S³₁₀, 20 S₆ et 15 σ.

Plus simplement les éléments de symétrie de l'icosaèdre sont : 6 A₅, 10 A₃, 15 A₂, 15 M et C

Dodécaèdre pentagonal

Le dodécaèdre pentagonal régulier est un solide convexe à 12 faces.
Les faces sont des pentagones réguliers.
Le dodécaèdre pentagonal comporte 20 sommets et 30 arêtes.
Le dodécaèdre pentagonal est aussi l'un des 5 solides de Platon.

Dans le repère orthonormé utilisé ici les coordonnées des 20 sommets sont :

(0, ±1/φ, ± ± φ); (± 1/φ, ± φ, 0);
(± φ, 0, ± 1/φ); (± 1, ± 1, ± 1);
avec : φ = ½(1 +√5) (nombre d'or).

La symétrie du dodécaèdre pentagonal est la même que celle de l'icosaèdre soit celle du groupe I_h ( 5 3 m ).

On peut noter que les sommets d'un dodécaèdre sont situés au centre des faces d'un icosaèdre et réciproquement. Ces deux polyèdres sont duaux (comme le cube et l'octaèdre).

La figure ci-contre est la projection stéréographique des éléments de symétrie du groupe I_h. ( 6 A₅, 10 A₃, 15 A₂, 15 M et C)
Le repère utilisé pour cette projection est identique à celui utilisé pour les représentations de l'icosaèdre et du dodécaèdre pentagonal.

Les pôles des faces de l'icosaèdre sont confondus avec ceux des axes 3 et ceux du dodécaèdre pentagonal sont confondus avec ceux des axes 5.
On peut noter que les axes 3 dessinés en cyan ont la même direction [1, 1, 1] que dans les groupes cubiques.
L'angle entre un axe 2 et un axe 5 de la même zone est 31,717°.

Attention
Dans la classe cubique m3 la forme {hk0} est un dodécaèdre pentagonal mais ce dodécaèdre n'est pas régulier.
On peut noter le dodécaèdre pentagonal par {01φ}. φ étant irrationnel cette forme ne peut être celle d'un cristal.