La projection de Mercator est une projection cylindrique tangente à l'équateur du globe terrestre sur une carte plane. Elle a été réalisée initialement par Gérard Mercator en 1569 en utilisant une méthode graphique empirique. (La justification mathématique date de 1600). C'est une représentation conforme (qui conserve les angles) mais pas les distances (l'échelle de la carte varie avec la latitude) ni les surfaces. Sur une carte de Mercator toute ligne droite est une direction de cap constant d'où son intérêt pour les cartes de navigation.

On veut déterminer les coordonnées x et y d'un point sur une carte de Mercator à partir de sa latitude φ et de sa longitude λ (λ = 0 correspond au centre de la carte).
On utilise une projection cylindrique donc x ne dépend que de λ et y ne dépend que de φ. L'échelle en latitude doit être partout égale à l'échelle en longitude, mais un degré de longitude ne fait pas la même taille aux pôles qu'à l'équateur. Le rapport k des dérivées ∂x / ∂λ et dλ et ∂y / ∂φ et doit être égal au rapport de la longueur du parallèle par rapport à la longueur du méridien. k = 2πRcos(φ) / 2πR. Or on a ∂x / ∂λ = R; il vient : ∂y / ∂φ = R / cos(φ).
Par intégration, on tire y = R.ln (φ / 2 + π / 4) = R.sinh⁻¹(tan(φ)). La fonction inverse est φ = tan⁻¹(sinh(y / R)) .
Si la largeur du planisphère est L, on a finalament x = Lλ / 2π et y = L.sinh⁻¹(tan(φ)) / 2π.

Propriétés :
Une route à cap constant est une droite. Sur la sphère, cette droite correspond à une loxodromie.
Ce n'est pas le chemin le plus court qui est un grand cercle de la sphère.
Les pôles sont des points à l'infini : Cette projection est inexploitable pour |φ| > 70°.
Les formes sont conservées mais pas les surfaces ainsi l'Afrique semble avoir une taille équivalente au Groënland alors qu'elle est en fait 15 fois plus grande.
On utilise maintenant des projections transverses (l'axe du cylindre est parallèle à l'équateur). En France, on utilise des projections coniques (Lambert).

Utilisation.
Faire un clic gauche et glisser le carré jaune sur le planisphère : le programme calcule et trace le domaine correspondant sur la sphère. On peut ainsi apprécier la déformation des surfaces.
Déplacer le curseur donnant le cap de la route tracée en bleu sur la carte. Le programme calcule et trace la route correspondante sur la sphère. Ce n'est pas une fraction de grand cercle mais cette courbe (loxodromie) coupe les parallèles avec un angle constant.
Pour modifier l'angle de vision de la sphère, faire un clic droit et glisser la souris.