Ondes électromagnétiques stationnaires


Une onde électromagnétique est caractérisée par deux composantes vectorielles orthogonales : un champ électrique E et un champ magnétique H.
Cette onde se déplace dans le milieu avec une vitesse v. Dans le vide la vitesse v est égale à c qui est la vitesse de la lumière.
Pour une onde polarisée selon Oz et se propageant selon Ox, on montre (voir un cours sur les équations de Maxwell) que la solution de l'équation de propagation est de la forme E = f(x).g(t).uz avec :
a) g''(t) + ω².g(t) = 0
b) f ''(x) + (ω / c)².f(t) = 0
On tire g(t) = A.cos(ω.t +φ) et f(x) = B.cos(ω.x / c + ψ)
Soit E(t, x) = E0.cos(ω.t +φ).cos(ω.x / c + ψ).
On cherche les solutions admissibles quand on place un miroir métallique parfaitement conducteur normal à Ox en x = 0 et un autre miroir en x = L.
Lors de la réflexion  sur le miroir, la composante tangentielle ET de E est invariante. Comme dans le miroir E = 0, le champ électrique dans le vide est nul en x = 0 et en x = L.
E (t, 0) = 0 implique cos(ψ) = 0 soit ψ = ± π/2 ⇒  E(t, x) = E0.cos(ωt +φ).sin(ω.x / c).
E (t, L) = 0 implique sin(ωL / c) = 0 soit ω.L / c = k.π (k entier) ⇒  ω = k.π.c / L. 
La pulsation est quantifiée. La longueur d'onde est donnée par λ = 2L / k.
En x = 0 et x = L, il doit y avoir un nœud de vibration. Entre 0 et L, il doit y avoir un nombre entier de distances inter-nœuds soit de demi-longueurs d'onde.
Les pulsations possibles sont les pulsations propres du système.
 Finalement : E(t, x) = E0.cos(ωt +φ).sin(k.π.x / L).
Champ magnétique :
Par projection de l'équation de Maxwell-Faraday sur Oy, on tire ∂Ez / ∂x= − ∂By / ∂t.
On en déduit que E(t, x) = (E0/c).sin(ωt +φ).cos(k.π.x / L).


Utilisation :
On étudie une onde plane polarisée dans la direction de l'axe Oz et qui se propage dans la direction de l'axe Ox dans une "cavité" fermées par deux miroirs métalliques normaux à Ox placés en x = 0 et x = L.
Le champ électrique est représenté par les traits rouges et le champ magnétique par les traits bleus.
Pour modifier l'angle d'observation, cliquez sur le bouton gauche de la souris puis glissez le curseur de la souris dans le cadre de l'applet.
Pour faire une pose dans l'animation, enfoncez le bouton droit de la souris.
Bien noter le déphasage temporel et spatial entre les champs électriques et magnétiques.