Angles d'Euler


Les angles d'Euler sont surtout utilisés pour le repérage d'un repère Rm mobile x3y3z3 en mouvement par rapport à un référentiel Rf xyz considéré comme fixe. On montre que dans le cas général, il faut trois rotations pour passer de Rm à Rf.
Le choix des angles des rotations n'est pas unique et dépend du problème à étudier.
Attention :
Il existe plusieurs chaînes de rotations utilisées et pour chaque chaîne les noms (ou l'ordre) des angles varient selon les auteurs !

Les angles d'Euler étant très utilisés pour l'étude du gyroscope leurs noms sont liés aux angles caractéristiques du gyroscope.

Nous utilisons ici la chaîne la plus utilisée :
La première rotation (Précession) est une rotation d'angle ψ autour de l'axe Oz dans le plan x O y.
Ox⇒ Ox1; Oy ⇒ Oy1; Oz1 ≡ Oz1. (matrice de rotation D)
En général les plans x3 O y3 et x O y se coupent suivant une droite dite ligne des nœuds. On fait souvent le choix de placer Ox1 suivant cette ligne des nœuds.
La seconde rotation (Nutation) est une rotation d'angle θ autour de l'axe Ox1 dans le plan x1O y1.
Oy1 ⇒ Oy2; Oz1 ⇒ Oz2; Ox2 ≡ Ox1.(matrice de rotation C)
La troisième rotation (Rotation propre) est une rotation d'angle φ autour de l'axe Oz2 dans le plan x2O y2.
Ox2 ⇒ Ox3; Oy2 ⇒ Oy3; Oz3 ≡ Oz2. (matrice de rotation B)
Les matrices de rotation sont :
L'expression de la matrice produit A = DCB est :

Si les composantes d'un vecteur S dans Ox3y3z3 sont le vecteur colonne s' = (x', y', z')T, dans Oxyz, elles sont s = (x, y, z)T avec s = A.s'.
La matrice inverse d'une matrice de rotation φ étant la matrice qui correpond à la rotation −φ, on a A−1 = AT.
Les colonnes de la matrice A sont les composantes des trois vecteurs unités selon Ox3, Oy3 et Oz3 projetées sur les axes Ox, Oy et Oz.
Les colonnes de la matrice AT sont les composantes des trois vecteurs unités selon Ox, Oy et Oz projetées sur les axes Ox3, Oy3 et Oz3.

Utilisation
Les grands cercles colorés sont les intersections des plans de rotation avec la sphère de rayon unité.
Utiliser les curseurs pour modifier les angles des rotations.
Le bouton [Animation] permet d'observer la succession des opérations. Pour geler l'animation, faire un clic droit.
Pour modifier l'angle d'observation, faire un clic gauche puis glisser le curseur dans le cadre de l'applette.