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Frottements sur un plan incliné


On considère un objet de masse M1 = 1 kg qui repose sur un plan incliné et qui est relié à une masse M2 par un fil inextensible passant sur une poulie. On fait l'hypothèse que les coefficients de frottements statique et dynamique ont la même valeur µ.
On doit envisager deux possibilités : le système est en équilibre ou en mouvement.

Système en mouvement
Le bloc glisse sur le plan dans la direction Ox. L'équation du mouvement de M2 est : M2.g − T = M2
L'équation du mouvement de M1 est : T − M1.g.sinθ − F = M1.γ (selon Ox)
Dans la direction normale à Ox, si N désigne la réaction du plan, on a : N = M1.g.cosθ
La force de frottement est F = µN = µ.M1.g.cosθ . Elle est toujours opposée à l'accélération.
Si l'accélération est positive (M1 se déplace vers le haut) on a : γ = g.(M2 − M1.sinθ − µM1.cosθ) / (M1 + M2) .
Si elle est négative γ = g.(M2 − M1.sinθ + µ.M1.cosθ) / (M1 + M2)
Système en équilibre
M2 est immobile donc M2.g = T .
La composante suivant Ox du poids de M1 est M1.g.sinθ .
Si M2.g > M1.g.sinθ , on a M2.g − M1.g.sinθ − F = 0. (a)
Si M2.g < M1.g.sinθ , on a M2.g − M1.g.sinθ + F = 0. (b)
Enfin si M2.g = M1.g.sinθ , F = 0.

Rôle des paramètres
On pose m = M2 / M1.
La relation (a) devient m − sinθ − µcosθ = 0.
Par élévation au carré, on obtient : (1 + µ2).sin2θ − 2.m.sinθ + (m2 − µ2) = 0.
La relation (b) conduit à la même expression.
On pose Δ = (1 − m2 + µ2)½.
Pour Δ > 0 les solutions sont sinθ = (m ± µΔ) / (1 + µ2).
Exemple : µ = 0,5 et m = 0,75. L'angle θm = 15,6° est solution de (b) et l'angle θM = 68,7° est solution de (a).
Pour toute valeur de θ non comprise entre θm et θM le système n'est pas en équilibre.

Si Δ est négatif, le système est en mouvement pour toutes les valeurs de θ.

Utilisation
Examiner tous les cas possibles en faisant varier les valeurs de µ, m et θ.