Oscillateur à poulie lestée

On considère une poulie de masse Mp, de rayon R dont le moment d'inertie est Ip = ½.Mp.R2.
A la distance r du centre O de la poulie, on fixe une masse ponctuelle m. A l'extrémité d'un fil enroulé sur la poulie, on attache une masse M. Soit φ l'angle entre la verticale et Or. On néglige tous les frottements.

Équilibre du système :
Le système est en équilibre si les moments des poids Mg et mg sont égaux.
MgR = mgrsin(φe) soit sin(φe) = MR /mr.
L'équilibre n'est possible que si MR ≤ mr.
On suppose par hypothèse que l'énergie potentielle du système est nulle quand φ = 0.
Quand la masse m a tourné de l'angle φ, la masse M s'est déplacée de R.φ. L'énergie devient :
EP(φ) = mgr(1 − cos(φ)) − MgRφ
Les positions d'équilibre correspondent aux zéros de la dérivée de EP .
On retrouve ainsi que le système est en équilibre si sin(φe) = MR /mr.
Il existe deux valeurs possibles :
φe qui correspond à un minimum de EP (équilibre stable) et π − φe qui correspond à un maximum de EP (équilibre instable).
Si MR > mr EP est une fonction toujours décroissante de φ.

Étude dynamique du système :
On laisse le système évoluer librement à partir de la position φ = ψ.
La masse M est soumise à son poids et à la tension T du fil : Mg − T = Mγ
Pour la poulie et la masse m, on a I0.d2φ / dt2 = T.R − mgrsin(φ) avec I0 = IP + m.r2
Comme R.d2φ / dt2 = γ, en éliminant T, on tire : (I0 + MR2).d2φ / dt2 = g(MR − mrsin(φ))
Finalement en posant I = IP + mr2 + MR2, on obtient I.d2φ / dt2 = g(MR − mrsin(φ))
On obtient une relation du même type que celle du pendule simple.
Cette équation est intégrée numériquement en utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.
On suppose que pour t = 0, dφ / dt = 0.
L'énergie cinétique du système est EC = ½.I0.(dφ / dt)2 + ½.M.v2 soit EC = ½.I.(dφ / dt)2.
Le programme calcule à chaque pas, φ, dφ / dt, EP, EC et ET = EC + EP.
Petites oscillations autour d'une position d'équilibre φe
On pose φ = φe + ψ. On obtient l'équation I.d2ψ / dt2 = g(MR − mrsin( φe + ψ))
Par hypothèse ψ est petit et sin(ψ) ≈ ψ et cos(ψ) ≈ 1.
Avec ces approximations, il vient : I.d2ψ / dt2 = − mgrcos(φe). ψ qui est l'équation d'un oscillateur harmonique de période T
Montrer en utilisant cos2a = 1 − sin2a que :
T0 = 2π.[ I / g.(m2r2 − M2R2)½ ]½

Utilisation
Dans le programme, on prend R = 80 cm et r = 40 cm. Le programme est arrêté lorsque φ devient supérieur à 180°. En effet à partir de ce moment, toute oscillation devient impossible.
Les curseurs bleu et rouge permettent de modifier les valeurs de M et de m. La liste de choix permet de modifier la valeur du moment d'inertie de la poulie. Examiner son effet sur la période et sur l'amplitude des oscillations.
Le curseur gris permet de choisir la valeur de l'angle φ à l'instant initial.
On pourra prendre une valeur voisine de l'angle d'équilibre et noter que dans ce cas, la période est très voisine de la valeur calculée T0. A contrario, vérifier que pour de grandes amplitudes d'oscillation, la valeur de la période s'écarte sensiblement de T0 et que la valeur mesurée est proche de T = T0.(1 + φ2 / 16). Consulter par exemple la page sur la période du pendule simple.
On peut constater que même après un grand nombre de pas, la valeur de l'énergie totale ET reste pratiquement nulle ce qui montre la qualité de la méthode d'intégration utilisée.
Un clic droit gèle l'animation. Elle reprend quand on lâche le bouton.