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Pendule conique

Une masse M est fixée à un fil inextensible de longueur L et de masse négligeable. L'autre extrémité du fil est fixée à un axe vertical qui tourne à la vitesse angulaire uniforme ω.
α est l'angle entre le fil et la verticale.

La masse décrit un cercle de rayon R = L.sin(α). La vitesse angulaire étant constante, l'accélération tangentielle est nulle. La valeur de l'accélération normale est :
γ = ω2.R = ω2.L.sin(α).
La masse M est soumise a la force F résultante de son poids P et de la tension du fil T. F = P + T. (1)
F est horizontale est son intensité est :
F = M.ω2.L.sin(α).
On projette la relation (1) sur un axe horizontal :
F = T.sin(α)
puis sur un axe vertical :
M.g − T.cos(α) = 0.
L'élimination de T dans ces deux relation donne
F = M.g.sin(α) / cos(α).

Donc : F = M.g.sin(α) / cos(α) = M.ω2.L.sin(α).
Soit sin(α).[g / cos(α) − ω2.L] = 0 (2) qui admet deux solutions :
sin(α) = 0
cos(α) = g / ω2.L. (si  ω2 > g / L)
Si cette condition est réalisée, le pendule s'écarte de l'axe de rotation.
Sinon comme la relation (2) est toujours valide la masse M reste collée à l'axe de rotation.

Il existe une pulsation critique en deçà de laquelle la masse ne s'écarte pas de l'axe de rotation.

Utilisation :
L'applette présente un pendule de longueur L = 75 cm.
On utilise une projection en perspective.
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Agir sur le curseur pour modifier la vitesse de rotation du pendule.
Des cases à cocher permettent de visualiser la trajectoire de la masse du pendule et les forces qui s'exercent sur cette masse (Poids en bleu, Tension en magenta et F en cyan).
On peut réaliser cette manipulation en utilisant un moteur à vitesse variable.
Fixer solidement le fil de suspension sur la tige et la masse sur le fil (on ne fabrique pas une fronde).
Utiliser de préférence un fil rigide (corde à piano de faible section) car un fil souple a tendance à s'enrouler sur l'axe de rotation.