Loi du refroidissement de Newton


La loi de refroidissement de Newton indique que le taux de perte de chaleur d'un corps est proportionnel à la différence entre les températures du corps T et celle du milieu Tm :  dT(t) / dt = −n.(T − Tm).
Dans ce programme, on utilise cette loi pour déterminer l'évolution des températures dans le système suivant :
Deux récipients R1 et R2 de mêmes largeurs et hauteurs sont remplis d'eau.
Les températures initiales sont T01 et T02 avec T02 < T01. Une cloison étanche présentant une bonne conductibilité thermique sépare les deux récipients. Ils sont isolés du milieu extérieur et des agitateurs assurent une température homogène dans chacun.
La capacité thermique de R1 est C1 = m1.C1 (masse x chaleur spécifique). Celle de R2 est C2 = m2.C2.
Pendant l'intervalle de temps dt, R1 perd la quantité de chaleur dQ1 = −C1.dT1 et R2 gagne la quantité dQ2 = C2.dT2. Comme le système est isolé −C1.dT1 = C2.dT2.
Si l'on admet la loi de Newton, dQ/dt = K(T1 − T2). Soit : −C1.dT1/dt = K(T1 − T2)
donc C1.d2T1 / dt2  + KdT1/dt − KdT2 / dt  = 0
d2T1 / dt2  + K(C1 + C2) / (C1.C2)dT1 / dt   = 0
On pose s = K( C1 + C2) / (C1.C2)
d2T1 / dt2  + s.dT1 / dt   = 0
Cette équation admet comme solution T1 = A1 + B1.exp(−s.t) et dT1 / dt = −s.B1.exp(-s.t)
Les constantes A1 et B1 se déterminent à partir des conditions initiales. En t = 0 on a : T1 = T01 et −C1.dT1 / dt = K(T01 − T02)
La solution est T1 = Te + Ta.exp(- s.t) avec Te = (C1.T01 + C2.T02) / (C1 + C2) et Ta = C2(T01 − T02) / (C1 + C2)
De même on trouve que T2 = Te − Tb.exp(− s.t) avec  Tb = C1(T01 − T02) / (C1 + C2).
A l'équilibre, les deux récipients sont à la température Te.
Remarque : Cette loi suppose que les températures sont homogènes et donc que la convection est parfaite.

Utilisation :
Avec la géométrie du dispositif, les capacités thermiques sont uniquement fonction de la position de la cloison. J'ai choisi de prendre C1 + C2 = 1 u.
La valeur de la constante s = K( C1 + C2) / (C1.C2) dépend de la conduction de la cloison et de sa surface. J'ai pris la valeur arbitraire s = 5.10-3 s-1.
Les boutons radio permettent le choix entre l'animation et le tracé des courbes T1 = f(t) et T2 = g(t).
Le bouton permet soit de modifier les paramètres soit de démarrer l'animation.
Modification des paramètres : En mode "Réglages", cliquer sur les curseurs rouge et bleu pour modifier les valeurs initiales de T1 et de T2.
Pour modifier la position de la cloison, cliquer sur celle-ci et glisser la souris.
Avec un choix judicieux des paramètres initiaux essayer de déterminer mentalement la valeur de la température d'équilibre du système.