Montagnes russes
Le looping des montagnes russes :
 Dans certains circuits de montagnes russes, la piste présente une boucle verticale. Pour que les véhicules puissent parcourir cette boucle sans quitter les rails, il faut que leur vitesse initiale à l'entrée de la boucle soit assez grande.
Equations du mouvement :
On assimile le véhicule à un point matériel P de masse M et on néglige les frottements.
Soient C le centre du cercle et q l'angle entre CP et la verticale et V0 la vitesse du mobile à l'entrée de la boucle.
Soient i le vecteur unitaire suivant CP et j le vecteur unitaire normal à CP en P.
Soient a l'accélération de P et N le vecteur réaction du support. Comme on néglige les frottements, N est normal à la trajectoire donc est radial.
Le principe fondamental de la dynamique donne : Ma = N + Mg.
La vitesse du mobile est V = R. q '. j et son accélération est : a = -R.q ' 2.i + R.q ''.j.
En projettant sur CP on tire : - M.R.q ' 2  = - N + M.g.cos(q)
Soit : N = M.R.q ' 2  + M.g.cos(q)       (a)
La conservation de l'énergie mécanique permet d'écrire :
½(M.V2 - MV02) = - M.g.R(1 - cos(q)).
Donc : q ' 2  = - (V0/R)2 - 2.g.(1 - cos(q)) / R      (b)
De (a) et (b), on tire :
N = M.V02 / R + M.g.(3.cos(q) - 2)      (c)
Mouvements possibles :
On remarque que :
- La vitesse angulaire et donc la vitesse s'annulent pour un angle q1 tel que cos(q1) = 1 - V02 / 2Rg.
- La réaction du support N s'annule pour un angle q2 tel que cos(q2) = (2 - V02 / 2Rg) / 3 = (2/3).cos(q1).
L'angle q1 est donc inférieur à l'angle q2.
 L'angle q1 existe si V0 < (2Rg)½. L'angle q2 existe si V0 < (5Rg)½.
 * Si V0 < (2Rg)½ la vitesse s'annule mais la réaction du support reste positive : Le mobile reste en contact avec la boucle et rebrousse chemin.
 * Si (2Rg)½ < V0 < (5Rg)½ la vitesse reste positive mais la réaction du support s'annule : La mobile quitte la boucle est tombe en chute libre. (Chute libre avec la vitesse initiale V).
 * Si V0 > (5Rg)½ la réaction du support reste positive et le mobile peut décrire la boucle sans quitter le support.
Remarque : Les frottements modifient uniquement les valeurs des vitesses qui correspondent à une modification du type de mouvement.

Utilisation :  
 Le rayon du cercle est ici de 15 cm et correspond à un circuit de montagnes russes pour des voitures miniatures.
Pour réaliser l'animation, on intègre l'équation différentielle (b) par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.
Le vecteur N est tracé en bleu et le vecteur V en vert.
Le bouton [Départ] permet de lancer l'animation.
Utiliser le curseur pour modifier la valeur de la vitesse initiale.
Un click sur un bouton de la souris gèle l'animation. Relâcher le bouton pour la reprise de celle-ci.
Retour au menu "mécanique".