Représentation des 230 groupes d'espace

Conception du programme.

Pour chaque groupe d'espace sélectionné, le programme exécute 4 opérations :
- Tracé des éléments de symétrie.
- Détermination des positions équivalentes sous forme littérale.
- Calcul et tracé des positions équivalentes.
- Détermination des conditions de diffraction.
L'ordre de la liste des groupes et les noms retenus sont ceux des Tables internationales de cristallographie.

Tracé des éléments de symétrie.

Ce tracé est effectué à partir d'une table où sont codés les générateurs élémentaires de chaque groupe. L'application de quelques règles simples sur les translation de réseau et la nature des éléments de symétrie du groupe permet d'alléger cette table.
Pour tous les groupes centrosymétriques, l'origine est prise sur un centre de symétrie ce qui permet de simplifier les calculs ultérieurs des positions équivalentes.
Exemples : A2 orienté selon Ox passant par l'origine à la cote 0 : "02000000"
A21 orienté selon Oy passant par X =1 /4 ,Y = 0 et Z = 1/4 : "1225009025"

Détermination des positions équivalentes sous forme littérale.

Dans le calcul des positions équivalentes, on sépare l'effet des opérations de symétrie du groupe ponctuel correspondant et l'influence des translations. Après décodage du symbole d'Herman-Mauguin du groupe, on détermine par application des opérations de symétries ponctuelles comment se transforment les coordonnées du noeud [1, 1, 1]. Les 3x3 matrices ainsi obtenues pour chaque position équivalente sont conservées dans un tableau (matrice) S. De même un tableau T (vecteur) contient la somme des translations intrinsèques liées aux éléments translatoires (axes hélicoïdaux et miroirs de glissement) et des translations liées à la position des éléments de symétrie dans le repère utilisé.
Le triplet initial X (vecteur de composantes x, y, z) se transforme en un triplet X' selon la relation matricielle X' = S.X + T.
L'analyse des composantes des tableaux S et T permet de dresser la table des positions générales équivalentes sous forme littérale.
Les translations liées au mode de réseau sont traitées ensuite de manière globale pour l'affichage des positions équivalentes. Enfin pour chaque position ainsi déterminée, on ajoute pour la réalisation du schéma les translations entières de réseau (1, 0, 0) (−1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, −1, 0) (1, 1, 0) (−1, 1, 0) (1, −1, 0) (−1, −1, 0).
Lors de l'affichage de la liste des valeurs littérales, on précise au début de cette liste les translations de réseau qui doivent éventuellement être ajoutées aux valeurs suivantes. Les générateurs utilisés ne sont pas les mêmes que ceux des tables internationales, ou sont utilisés dans un ordre différent. C'est la raison pour laquelle l'ordre de la liste affichée peut différer de celui des tables.

Calcul et tracé des positions équivalentes.

    Dans le calcul des positions équivalentes sous forme numérique, l'utilisateur doit entrer les coordonnées réduites de l'atome initial. Le programme calcule la liste des coordonnées numériques des atomes équivalents à partir de la liste des coordonnées littérales et effectue le tracé à l'écran.
     Si l'atome est en position particulière, le programme génère deux (4, 8, ...) atomes ayant les mêmes coordonnées. Une procédure permet d'éliminer ces multiplets et de n'afficher qu'un seul atome : ceci permet l'étude des positions particulières. Tous les calculs sont effectués en coordonnées réduites. Pour les tracés, la conversion entre ces coordonnées et les coordonnées écran tient compte du système étudié.
     Pour les groupes trigonaux, hexagonaux et cubiques, il est souvent intéressant de modifier les valeurs par défaut des coordonnées afin d'obtenir une projection plus lisible.
Nota : Un atome est en position particulière s'il est placé sur un axe non hélicoïdal ou dans un miroir non translatoire. Dans les Tables internationales, les positions particulières sont listées et repérées par leur symbole de Wyckoff (nombre de positions équivalentes suivi d'une lettre attribuée de manière conventionnelle).

Détermination des conditions de diffraction.

La détermination des extinctions systématiques pour des positions générales est faite à partir de l'analyse du contenu du tableau T. Le programme permet d'afficher la liste des conditions sur les indices des plans réticulaires qui permettent la diffraction. La première ligne de l'affichage correspond aux conditions propres au mode de réseau. Les lignes suivantes correspondent aux conditions liées aux éléments de symétrie de translation du groupe. Les extinctions qui sont induites par des atomes en position particulière (sur un ou plusieurs éléments de symétrie non translatoire) ne sont pas calculées.

Symboles utilisés

Les symboles utilisés pour la représentation des éléments de symétrie sont les symboles conventionnels.

Symboles utilisés pour les miroirs	Symboles utilisés pour les axes

Les axes 64 et 65 sont énantiomorphes de 62 et 61.

Les axes sont dessinés en vert foncé, les miroirs sont figurés en rouge.
Les centres de symétrie sont dessinés avec un point jaune cerclé en violet.
Si la cote des centres d'inversion, des axes 4 inverses, des axes et des miroirs horizontaux est nulle, elle n'est pas indiquée. Elle figure au voisinage du symbole dans le cas contraire.
Les positions équivalentes sont figurées par des cercles dont la couleur est fonction de la cote (voir la légende).
Si des atomes ont la même cote, le dernier est représenté par un demi-cercle dont la couleur est fonction de sa cote.

Groupes monocliniques.

Pour les groupes monocliniques, nous avons utilisé la représentation principale qui correspond à α = γ = π/2; π/2 < β < 2π/3.
Dans ce repère, l'axe binaire est parallèle à l'axe Oy. Sur les représentations, l'axe Oy est dans le plan de figure, l'axe Oz est normal au plan de figure et l'axe Ox (situé sous le plan de figure) se projette selon Oxp.
Il est également possible dans le programme de visualiser le groupe avec l'axe Oy (direction du binaire dans les classes holoèdres) normal au plan de figure (repère c a b). Dans cette représentation, les axes Oz et Ox sont contenus dans le plan de figure.
On utilise parfois une représentation dans laquelle l'axe binaire est orienté selon l'axe Oz.

Groupes orthorhombiques.

Pour les groupes orthorhombiques, il existe 6 façons différentes d'affecter les vecteurs de base a, b et c . Dans de nombreux cas, en particulier dans les études de filiation (transition de phases), il est préférable d'utiliser un système d'axes différent du repère conventionnel a // Ox, b // Oy et c // Oz.
Par exemple dans le repère bca, on a : b // Ox, c // Oy et a // Oz.

Pour les groupes non symmorphiques, le nom du groupe (dans la notation de Hermann-Mauguin) peut changer car les symboles du mode de réseau et ceux des miroirs de glissement sont liés au repère utilisé. Ceci est la cause de nombreuses confusions.
Dans le programme, une procédure génère la liste des noms équivalents au nom du groupe "standard" pour les différents repères possibles. Le programme autorise le tracé du groupe dans les repères abc, cab et bca.
Rappel :
Dans la notation d'Hermann Mauguin des groupes orthorhombiques, le premier symbole correspond soit à un axe parallèle à Ox soit à un miroir normal à Ox. Le second symbole correspond à la direction de l'axe Oy et le troisième à la direction de l'axe Oz.

Groupes trigonaux.

Pour le réseau trigonal (rhomboédrique) on peut utiliser la représentation classique de MILLER avec l'axe 3 perpendiculaire au plan de projection ou travailler dans une maille multiple hexagonale.
Les cristaux ayant un réseau trigonal P peuvent être considérés comme des sous groupes du système hexagonal et donc être décrits dans la maille P hexagonale. Pour les cristaux trigonaux ayant un réseau R, il est possible de travailler dans la maille multiple hexagonale définie par :

A = a − b a = 1/3 (+ 2.A + B + C)

B = b − c b = 1/3 (− A + B + C)

C = a + b + c c = 1/3 (− A − 2.B + C)

On peut aussi considérer que le passage de la maille R à la maille P correspond à l'ajout des translations {2/3, 1/3, 1/3} et {1/3, 2/3, 2/3}
Si les indices de MILLER des plans sont covariants avec les vecteurs de base, les coordonnées sont contravariantes. Pour calculer les coordonnées dans la maille R à partir des coordonnées hexagonales, c'est donc la transposée de la matrice de changement d'axes R => H qu'il faut utiliser.
On doit écrire :

|xR| | 1 0 1 | |xH|
|yR| = |-1 1 1 |.|yH|
|zR| | 0 -1 1 | |zH|

Exemple groupe R−3 :
Le triplet (x, y, z)_H est identique au triplet (x + z, −x + y + z, −y + z)_R que l'on peut également écrire (X, Y, Z)_R
L'équivalent dans une rotation de 2π/3 autour de Oz de (x, y, z)_H est le triplet (-y, x - y, z)_H qui dans la maille R s'écrit (−y+z, x+z, −x+y+z)_R ou (Z, X, Y)_R. Dans cette maille, on passe en effet du triplet initial (X, Y, Z) au triplet (Z, X, Y) par une rotation de 2π/3 autour de la direction [111].

Pour les groupes dont le réseau est R, les calculs sont faits dans la maille multiple hexagonale mais les coordonnées sont également calculées pour la maille R.

Groupes cubiques

N'étant pas convaincu par l'utilité de la représentation des axes obliques dans les groupes cubiques ni par les symboles qui ont été retenus pour les figurer dans les dernières éditions des Tables internationales, j'ai fait le choix des les omettre dans les schémas. De même pour conserver une certaine lisibilité aux schémas des groupes les plus complexes, je n'ai représenté que les éléments de symétries normaux au plan de figure.