Soit dans un réseau dont les vecteurs de base sont a, b, et c un plan dont l'équation normale est : h.x/a + k.y/b + l.z/c = 1.
Les longueurs OA, OB et OC découpées sur les axes par ce plan valent : a/h, b/k et c/l.
Si le réseau est un réseau cristallin et si les points A, B et C sont des nœuds du réseau alors le plan est un plan réticulaire et les nombres h, k et l sont des entiers.
En effet si A est un nœud alors OA = x = u.a (u entier) ; de même OB = v.b ; Oc = w.c.
L'équation de ce plan réticulaire est donc:  h.u + k.v + l.w = 1.
Il existe une infinité de plans réticulaires parallèles à ce plan. Cette infinité de plans contient l'ensemble des nœuds du réseau.
On désigne cette famille par (hkl). Les trois entiers h, k et l  sont les indices de Miller de la famille de plans réticulaires.  

Les indices de Miller d'une famille de plans réticulaires sont les inverses des longueurs découpées sur les axes par le premier plan de la famille qui ne contient pas l'origine.

Cette notation qui perturbe beaucoup les débutants en cristallographie (pourquoi prendre les inverses et pas les longueurs) trouve sa justification quand on utilise le réseau réciproque.
En effet la rangée [hkl]* du réseau réciproque Nhkl = h.A* + k.B* + l.C* est le vecteur normal aux plans de réseau direct (hkl).
Un indice nul correspond à une longueur découpée sur l'axe infinie : le plan est parallèle à la direction de cet axe.

En cristallographie géométrique l'introduction du  réseau réciproque est assez artificielle et son usage n'est pas indispensable (mais il simplifie beaucoup les calculs). Par contre ce réseau apparaît naturellement quand on étudie la diffraction des rayons X par un cristal.

Utilisation :
Ce petit programme a été écrit pour habituer les néophytes avec la notation de Miller.
Pour une étude plus complète consulter la page sur les réseaux direct et réciproque.
La liste de choix permet de sélectionner divers modes de réseau.
Les liste numériques permettent de choisir les valeurs (nombres entiers) de h, k et l . (gamme -5 ... +5).
La case à cocher "Plein" assure le remplissage coloré du plan. (Transparence non gérée).
La case à cocher "Deux plans" assure le tracé des deux premiers plans de la famille.
Le trait rouge est le vecteur normal à la famille de plans.
Noter que dans le système cubique toute rangée directe [hkl] est normale à la famille de plans directs (hkl) . Ceci est faux dans les autres réseaux.