On considère un fluide non visqueux, incompressible en écoulement laminaire indépendant du temps. ( En écoulement dit "stationnaire").
Dans ce cas, on démontre qu'il existe une fonction Φ (potentiel des vitesses) telle que le vecteur vitesse est : v = grad (Φ).
On montre que Φ satisfait à l'équation de Laplace ΔΦ = 0.
Dans le cas général, il n'existe pas de solution analytique au problème de Laplace.
Dans le cas particulier d'un écoulement laminaire autour d'un cylindre de rayon R d'axe normal à la vitesse du fluide, les conditions aux limites sont simples et symétriques :
Loin à gauche du cylindre la vitesse est parallèle à Ox et elle est dirigée vers la droite.
Sur le cylindre, la vitesse est tangente au cylindre (Vr = 0) et à grande distance à droite, la vitesse est à nouveau parallèle à Ox.
En utilisant un système de coordonnées cylindriques (r, θ, z) ou polaires (le problème est un problème plan) on peut vérifier que si v0 désigne la vitesse à l'infini le potentiel Φ = v0(r + R2 / r).cos(θ) est solution de l'équation de Laplace.
Démontrer en utilisant l'expression du gradient en coordonnées cylindriques (polaires) que :
La vitesse radiale vaut : Vr = v0(1 − R2 / r2).cos(θ). et que la vitesse normale vaut : Vt = − v0(1 + R2 / r2).sin(θ).
A partir de l'expression de la vitesse, il est possible de tracer les lignes de courant dans le fluide.
Effet Magnus :
On suppose maintenant que le cylindre tourne autour de son axe et que à cause de la viscosité il entraîne dans sa rotation une mince couche de fluide d'épaisseur e.
On démontre que dans ces conditions, il faut ajouter à la vitesse tangentielle le terme K(R + e)2/ r.
Du côté du cylindre où la vitesse du fluide augmente, la pression diminue et réciproquement : le cylindre est soumis à une force (portance) orientée du côté où le fluide s'écoule le plus vite.
Bien que l'air soit un fluide compressible, on y observe le même phénomène. L'effet Magnus permet d'expliquer les trajectoires "anormales" que l'on observe au football avec les balles brossées et au tennis avec les balles coupées et liftées (avant impact avec le sol). La balle est soumise à une force latérale qui est dirigée du côté de la balle où le frottement avec l'air est minimal.
Les trous réalisés à la surface des balles de golf ont pour but d'augmenter l'entraînement de l'air par la balle et d'obtenir aussi l'effet Magnus.
Utilisation :
Le programme simule les lignes de courant perturbées par le cylindre.
Un slider permet de faire varier le rayon du cylindre entre 2 et 5 cm.
La vitesse à grande distance de l'origine est choisie faible ( 1 cm/s ) pour assurer le régime laminaire.