On étudie l'équilibre de corps flottants homogènes dans de l'eau.
Sphère :
Si la masse volumique de la sphère (rayon R) est µ, son poids est P = 4.µ.g.π.R³ / 3.
On prend comme axe Ox le diamètre vertical de la sphère, le point O étant le point le plus bas de la sphère. Soit H la distance entre O et le niveau de l'eau : H est la hauteur immergée.
Le volume élementaire d'une tranche de la sphère située à l'altitude x est dV = π.r².dx avec r² = x.(2.R − x).
Par intégration, on tire V = π.H².(3R − H) / 3
La poussée d'Archimède est égale au poids de l'eau déplacée : F = g.V.
On doit résoudre l'équation : 4.µ.R³ − R.H² + H³ = 0.

Cylindre :
Si la masse volumique du cylindre (rayon R, longueur L) est µ, son poids est P = µ.g.π.R² .L
Soit S la surface de la section droite du cylindre qui immergée. Le volume immergée est V = S.L et la poussée est F = g.S.L
A l'équilibre, on a : µ.πR² = S.
Soit α l'angle entre la verticale et la droite joignant le centre au point d'immersion.
Pour calculer S, on peut remarquer que l'aire d'un segment circulaire est égale à l'aire du secteur correspondant R²α. diminuée de l'aire du triangle isocèle de base 2R.sinα et de hauteur R.cosα.
A l'équilibre, on a donc π.(1 − µ) − α + sinα.cosα = 0

Règle :
Le poids de la règle est P = µ.g.a.b.L.
Si a est la hauteur de la règle, le volume immergé est V = H.b.L
A l'équilibre, on a donc H = µa.

Pour ces trois solides qui possèdent un plan de symétrie horizontal, pour µ = 0,5,la partie immergée est égale à la partie émergée.
Un corps homogène ne peut flotter que si sa masse volumique est inférieure à celle du liquide dans lequel il est placé.

Utilisation
Avec les curseurs régler la valeur de la masse volumique (qui correspond à la densité) et le rayon ou la hauteur du solide.
Dans le programme, on utilise une méthode de zéro pour déterminer la valeur de la hauteur immergée.