Définitions :
La fonction logistique est la fonction définie sur [0,1] par f(x) = k.x.(1 − x), où k est un paramètre réel. En général, on impose à k d'être compris entre 0 et 4 afin que f(x) soit contenue dans le segment [0,1].
La série logistique est la série : X_n+1 = k.X_n.(1 - X_n) avec 0 < X < 1 et k < 4.
Cette suite intervient en dynamique des populations. u_n représente le rapport entre l'effectif de la population au temps n et l'effectif maximum théorique de la population. Cette modélisation tient compte de deux phénomènes : le terme kx permet de tenir compte de l'accroissement naturel de cette population. Le terme (1 − x) correspond au fait que si la population est trop nombreuse, ses ressources diminuent, et elle a tendance à diminuer. Bien que simpliste cette loi rend assez bien compte de l'évolution des certaines populations.

Une construction géométrique simple permet de déterminer les termes de cette série.
On représente X_n+1 en fonction de X_n. On trace la verticale d'abscisse X_n ; son intersection avec la parabole k.X_n.(1-X_n) donne la valeur de X_n+1. L'intersection de l'horizontale passant par ce point avec la diagonale (X_n+1 = X_n) donne l'abscisse du point suivant.

Propriétés :
Pour les valeurs de k < 3, la série converge vers la même valeur (fonction de k) quelle que soit la valeur initiale de X.
Pour 3 < k < 3,46.., la série oscille entre 2 valeurs qui ne dépendent pas de la valeur initiale de X mais uniquement de k.
Si on augmente k, la série oscille entre 4 puis 8 valeurs indépendantes de la valeurs initiale. Si par contre k est supérieur à 3,57, le comportement de la série devient chaotique : une variation même très petite de la valeur initiale modifie profondément la série obtenue.
Au delà de cette valeur limite, la série devient sensible aux conditions initiales (SCI).
La prédiction est impossible pour un système SCI même s'il est déterministe.

Utilisation :
Le programme permet de visualiser (mode animation) la détermination des valeurs de la série. Le mode courbe permet de tracer la suite de valeur de X en fonction de n pour n < 200. (les traits gris de liaison sont de simples guides pour les yeux). Deux boîtes de saisie permettent de modifier k et la valeur initiale.
En mode animation, le programme est arrêté au bout de 300 itérations.