La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète. Elle décrit la probabilité qu'un événement se réalise durant un intervalle de temps donné, lorsque la probabilité de réalisation d'un événement est très faible et que le nombre d'essais est très grand.

Si le nombre moyen d'événements dans un intervalle de temps fixé est λ, alors la probabilité qu'il existe exactement k événements (k entier = 0, 1, 2…) est :

L'espérance est µ = λ.
La variance est V = λ et l'écart-type σ = √λ.

Exemple d'utilisation : Si un événement se produit en moyenne N fois par seconde, pour étudier le nombre d'événements se produisant pendant 60 secondes, on choisit une loi de Poisson de paramètre λ = 60xN.

Principe des approximations : Si une loi de Poisson approche bien une autre loi statistique les deux lois doivent avoir la même espérance.
Ceci qui permet de calculer le paramètre de la loi de Poisson qui approche une loi normale (λ = n×p) ou les paramètres d’une loi normale qui approche une loi de Poisson (µ = λ et σ = √λ).
De même si on considère une loi binomiale (N = T, p = λ / T) on montre qu'elle converge vers une loi de Poisson pour T grand.

Utilisation :
Le programme trace le diagramme en bâton de la loi de Poisson.
Le programme indique les probabilités pour que la variable soit inférieure à une borne inférieure, supérieure à une borne supérieure ou comprise entre ces bornes.
Le programme calcule aussi la probabilité pour la valeur entière la plus proche de λ.
Faire des comparaisons avec les lois normale et binomiale.

On pourra consulter cette page pour avoir quelques rappels sur les lois statistiques.