On étudie le mouvement d'une particule de masse m soumise à une force F(x) qui dérive d'un potentiel de Morse Ep(x).
Ep(x) = H.[(1 − e −kx)2 − 1].
Ce potentiel empirique présente un minimum Ep(0) = − H pour x = 0 qui correspond à la position d'équilibre de la particule.
L'expression de la force est F(x) = dEp(x) / dx = − 2.k.H.(1 − e −kx).e −kx, k étant la constante de force.
Si l'on néglige toute forme d'amortissement l'équation du mouvement est : m.d2x / dt2 + F.x = 0 (1)
L'énergie totale de la particule est : E = Ep + Ec = Ep(x) + ½.m.v2.
Selon la valeur de E, il faut envisager trois cas :
a) − H < E < 0 qui correspond à un état lié : la particule oscille autour de x = 0 entre xm et xM.
b) 0 < E < H qui correspond à un état non lié : la particule s'éloigne jusqu'à l'infini.
c) Le cas limite E = 0 qui correspond également à un état non lié.
Pour l'étude analytique du mouvement de la particule dans ces trois cas, consulter la page suivante.
Remarque 1
Ce potentiel est surtout utilisé pour la description de molécules biatomiques. Il présente l'avantage par rapport au modèle harmonique de rendre compte de l'énergie de rupture de la liaison.
Comme pour l'oscillateur harmonique, il est possible de faire l'étude dans le repère du centre de masse. Si L0 est la distance à l'équilibre entre les atomes et Lt la distance à l'instant t, il suffit de remplacer dans l'équation (1) m par la masse réduite du système et x par (Lt − L0).
Le potentiel de Morse rend bien compte de la force répulsive entre les atomes qui augmente fortement quand ceux-ci se rapprochent (x < 0).
Remarque 2
Comme pour l'oscillateur harmonique, il existe un traitement quantique de l'oscillateur de Morse. Contrairement à l'oscillateur harmonique les niveaux d'énergie ne sont pas équidistants.
Remarque 3
On pourra comparer ce potentiel au potentiel de Lennard-Jones.
Utilisation
Il est possible de modifier avec les sliders les valeurs de la constante de force k et le rapport E / H.
Examiner les trois régimes de fonctionnement pour les valeurs extrêmes de k.
Pour l'état lié, le programme trace également le portrait de phase du mouvement ( courbe v = f(x) ).
On fera la comparaison avec un oscillateur harmonique où le portrait de phase est une ellipse.(Prendre λ = 0 et X excit = 0).
On constate que pour k grand et E / H < − 0.7, le portrait de phase se rapproche d'une ellipse et que le mouvement est alors pseudo harmonique.
Dans le programme, on pose m = 1 et on utilise la grandeur sans dimension τ = (E + H) / H.