Le paquet d'ondes est constitué par la superposition d'ondes de longueurs d'onde différentes qui sont centrées sur une valeur particulière de λ = λ0. Le "paquet" est la région de l'espace où ces ondes interfèrent de manière constructive.
On peut écrire la phase d'une onde sinusoïdale sous la forme φ(k) = k.x − ω(k).t.
Si la phase ne change pas trop dans le domaine de variation de k autour de k0, il y a interférence constructive pour les valeurs de x et t qui rendent la phase constante (i.e pour dφ(h) / dk = 0 donc pour x = t.dω(k) / dk.
Cette perturbation se déplace à la vitesse x / t = Vg = dω(k) / dk que l'on nomme vitesse de groupe.
La célérité c d'une onde unique de vecteur d'onde k est c = Vp = ω / k (vitesse de phase).
Quand la vitesse de groupe n'est pas constante, il y a dispersion.
Dans cette page, on étudie numériquement le paquet d'onde gaussien. (consulter cette page pour avoir les équations et la méthode utilisées.)
Contrairement au paquet d'onde formé par la superposition d'ondes de même amplitude, dans le paquet d'onde gaussien, l'amplitude de l'onde sinusoïdale est d'autant plus petite que le vecteur d'onde k est différent de k0.
La propagation du son dans l'air correspond au cas sans dispersion.
La vitesse de phase est v = ω / k. La vitesse de groupe (dω /d k) est aussi égale à v.
La propagation de vagues à la surface d'un liquide correspond au cas ou la pulsation est proportionnelle à la racine carrée du vecteur d'onde ω = a√k. La vitesse de phase est a / √ k. La vitesse de groupe est a / 2√ k.
Les ondes surgissent à gauche du paquet et semblent s'éteindre à droite. Comme la vitesse de phase est supérieure à la vitesse de groupe, les composantes de grande longueur d'onde se déplacent plus vite.
Pour la fonction d'onde d'un électron libre, la relation de dispersion est de la forme ω = a.k2.
La vitesse de phase est a.k. La vitesse de groupe est 2.a.k
Les ondes surgissent à droite du paquet et semblent s'éteindre à gauche. Comme la vitesse de groupe est supérieure à la vitesse de phase, les composantes de petite longueur d'onde se déplacent plus vite.
Utilisation :
Les cases à cocher permettent de choisir la largeur du paquet d'onde et la nature de la fonction ω(k).
Le système de coordonnées réduites choisi permet de mettre en évidence l'élargissement du paquet d'onde dans les milieux dispersifs.
L'effet est plus visible avec le paquet d'onde de petite largeur.