On considère une particule de masse M dans un puits de potentiel rectangulaire. A l'intérieur du puits ( −a < x < +a) le potentiel est nul et à l'extérieur, il vaut V.
E désigne l'énergie de la particule.
L'équation de Schrödinger s'écrit :
A cause des symétries du problème, les solutions sont paires ou impaires.
Entre −a et +a, la solution est de la forme ψ = Asin(px) ou ψ = Bcos(px).
Pour x > a et pour x < − a, les solutions sont des exponentielles décroissantes.
La continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée pour x = ± a impose que pour les fonctions paires l'équation tan(pa) = − p/q soit satisfaite et que tan(pa) = q/p le soit pour les fonctions impaires.
Ces conditions font que l'énergie ne peut prendre que des valeurs discrètes.
Il existe plusieurs méthodes graphiques de résolutions de ces équations mais dans l'application, nous utilisons une méthode numérique de recherche de zéros.
Les constantes A et B sont calculées en écrivant que l'intégrale de la probabilité de présence de la particule entre − ∞ et + ∞ doit être égale à 1.
Utilisation :
Les curseurs permettent de modifier la valeur de la largeur du puits et celle du potentiel V.
Les unités sont arbitraires (2Mħ2 = 1).
Les traits noirs correspondent aux valeurs possibles de l'énergie.
Les courbes en rouge représentent les fonctions d'onde paires. Celles en vert les fonctions impaires.
Des cases à cocher permettent de choisir entre la visualisation des fonctions d'onde ou celle des probabilités de présence (carré de la fonction d'onde).
Noter que les nouveaux niveaux apparaissent au sommet du puits et que plus l'énergie est grande plus la probabilité de trouver la particule hors du puits augmente.