Soit N(t) le nombre de noyaux d'une espèce donnée présents dans un échantillon à un instant t quelconque. Comme la probabilité de désintégration d'un noyau ne dépend pas de la présence des autres noyaux ni du milieu environnant, le nombre total de désintégrations dN pendant un intervalle de temps dt à l'instant t est proportionnel au nombre de noyaux de l'espèce N présents et à la durée dt de l'intervalle : dN = − λ.N.dt
Si en t = 0, le nombre de noyaux était N₀, le nombre N(t) de noyaux présents à un instant t quelconque est donc donné par la relation :  N(t) = N₀exp( − λ.t) (1)
λ est la constante radioactive du nucléide considéré. Sa dimension est l'inverse d'un temps.
On appelle période radioactive (ou demi-vie) T la durée au bout de laquelle le nombre de radionucléides présents dans l'échantillon est divisé par deux. De la relation (1), on tire T = ln(2) / λ.
L'activité d'un élément A(t) est le produit du nombre de noyaux par la constante radioactive de l'élément A(t) = λ.N(t)
L'activité moyenne A est le nombre de désintégrations par seconde d'un échantillon et s'exprime en becquerel (Bq).

Filiations radiactives :
Famille de 2 éléments :
Soit le nucléide A qui se transforme en nucléide B selon une constante radioactive λ_A. Le nucléide B décroît selon la constante radioactive λ_B pour donner un nucléide stable.
La décroissance du nucléide A n'est pas influencée par B. Par contre, la quantité du nucléide B au temps t dépend de la quantité du nucléide A à l'origine et des deux constantes radioactives λ_A et λ_B.
On a donc : dN_A = − λ_AN_Adt et dN_B = λ_AN_Adt − λ_BN_Bdt et dN_C = − λ_BN_Bdt.
Soit N₀ le nombre d'atomes A à l'instant t = 0.
Par intégration, on tire : N₀exp( − λ_At) ;
N_B = N₀[exp( − λ_At) − exp( − λ_Bt)].(λ_A / (λ_B − λ_A ) si λ_B  différent de λ_A
et N_B = N₀λ_A.t.exp( − λ_At) si λ_B = λ_A
N_C = N₀ − (N_A + N_B)
Si la période du nucléide A est inférieure à la période du nucléide B  quand t est supérieur à environ 10T_A, alors la décroissance de B ne dépend plus de A.
Si la période de A est supérieure à la période de l'isotope B au bout d'un certain temps, un équilibre de régime est obtenu, tel que : N_B / N_A = λ_B / (λ_B − λ_A ) 
Si la période de A est très supérieure à la période de B un équilibre est observé au bout d'environ 10 fois la période de B. Les activités des deux nucléides sont alors équivalentes et décroissent selon la constante radioactive de A.

Cas général :
Consulter cette page pour avoir les formules établies par H. Bateman qui donnent les activités des divers descendants au cours du temps.
Si à l'instant t = 0 le nombre des noyaux fils n'est pas nul, il faut appliquer les relations de Bateman pour chaque élément n tel que N_n(0) ≠0 et faire la somme des contributions.

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Utilisation :
La liste de choix permet de choisir le nombre d'éléments de la famille.
Les curseurs permettent de choisir les périodes des nucléides.
L'unité de temps est arbitraire.
A l'instant t = 0 les nombres de tous les noyaux fils sont nuls.
La courbe en noir correspond aux noyaux stables formés à partir du dernier élément instable de la famille.

En cliquant dans l'épure, on fait apparaître un réticule et les valeurs de N et de t pour le point considéré.

Commencer par l'étude de la famille à deux éléments.
Étudier divers cas : périodes voisines, périodes très différentes .
Montrer que dans le cas particulier des périodes égales, le maximum de l'espèce B se produit quand N_B = N_A ce qui a lieu au temps t = 1 / λ_A. Monter que la courbe de l'espèce B présente alors un point d'inflexion pour  t = 2 / λ_A.

Etudier par exemple la famille O₂₂ ⇒ F₂₁ (T = 3,42 s) ⇒ Ne₂₁ (T = 4,16 s)
puis la famille F₂₃ ⇒ Ne₂₃ (T = 2,23 s) ⇒ Na₂₃ (T = 37,2 s)

 

Révision le 03/05/2020