Pour représenter la fonction sinusoïdale Y = A.sin(ω.t + φ) on dispose de trois méthodes équivalentes.
Le choix de la meilleure méthode dépend du problème étudié.
Représentation temporelle :
C'est la méthode naturelle. On dessine le graphe Y = f( t ).
Avantages : Méthode toujours utilisable même avec des fonctions de pulsations différentes.
Inconvénients : Calculs trigonométriques souvent très lourds. Pas du tout adaptée lors de l'étude de fonctions de même pulsation.
Représentation complexe :
A la fonction Y = A.sin(ω.t + φ) on associe :
soit le nombre complexe Y = a + j.b tel que A² = a² + b² et tg ( φ ) = b / a.
soit le nombre complexe Y = A.exp( j.φ )
Avantages : La représentation simplifie souvent beaucoup les calculs littéraux et elle est parfaitement adaptée au calcul numérique (forme Y = a + j.b).
Selon la nature du problème il faut choisir le mode de représentation complexe le mieux adapté. Pour les phénomènes d'interférence la représentation exponentielle est souvent la meilleure alors que pour la représentationdes impédances électriques ou mécaniques l'autre représentation est souvent mieux adaptée.
Inconvénients : Méthode pas très visuelle. Pas très adaptée pour l'étude de fonctions de pulsations différentes.
Représentation vectorielle ou de Fresnel :
A la fonction Y = A.sin(ω.t + φ) on associe un vecteur de norme A faisant avec l'axe Ox un angle φ.
Si l'on fait tourner autour de l'origine ce vecteur avec la vitesse angulaire ωt, sa projection sur l'axe Oy est Y = A.sin(ω.t + φ).
Lors de l'étude de plusieurs grandeurs de même pulsation les grandeurs pertinentes sont les normes et les déphasages relatifs. La représentation de Fresnel revient à supprimer la rotation autour de l'origine ce qui allège considérablement les calculs trigonométriques.
Avantages : Méthode souvent très visuelle. Parfaite pour l'étude des interférences et l'étude des circuits électriques série.
Inconvénients : Pas du tout adaptée lors de l'étude de fonctions de pulsations différentes.
En optique risque de confusion entre le vecteur de Fresnel et le vecteur vibration.
Utilisation :
Le programme dessine les trois représentations des fonctions Y1 = A1sin(ω.t + φ1) (en rouge) et Y2 = A2sin(ω.t + φ2) (en vert)
Avec la souris, cliquer sur l'extrémité des vecteurs de Fresnel correspondants (points rouge et vert) et glisser le pointeur pour faire varier la norme et la phase.
Le programme répercute ces variations sur les deux autres représentations des fonctions sinusoïdales.