On considère un récipient cylindrique de rayon R contenant un liquide de masse volumique μ. La hauteur du liquide au repos est Z0.
Le récipient est animé d'un mouvement de rotation uniforme autour de son axe vertical avec la vitesse angulaire ω.
On admet que l'entraînement du liquide par le récipient est parfait.
Par rapport à un système d'axes liés au récipient (Ox horizontal et Oz vertical orienté vers le haut), le liquide est repos.
Un élément de volume dv situé à la distance r de l'axe est soumis à son poids −μ.dv.g et à la force d'inertie (horizontale) μ.dv.ω2.r.
Habituellement en statique des fluides, la seule force qui intervient est la force de pesanteur.
L'expression locale de la pression est donc donnée par la relation :
dp = − μ.g.dz.
Dans le cas présent, il faut utiliser la relation vectorielle générale : μ.F - grad (p) = 0, liant les forces par unité de masse à la pression.
Dans le repère utilisé, on a :
μ.ω2.r − δp / δr = 0 (1)
−μ.g − δp / δz = 0 (2)
Or dp = δp / δr.dr + δ p /δz.dz
Donc dp = μ.ω2.r.dr − μ.g.dz.
L'intégration de cette relation donne l'expression de la pression dans le fluide
p = ½.μ.ω2.r2 − μ.g.z + Const.
L'équation des isobares est donc : z = ω2.r2 / 2g + Const.
Ce sont des paraboloïdes de révolution autour de Oz.
Pour déterminer la valeur de la constante qui correspond à la surface libre du liquide, il suffit de remarquer que le volume du fluide est invariable. Montrer que le volume formé par un paraboloïde de révolution et limité par un plan normal à l'axe est égal à la moitié du volume du cylindre circonscrit soit ½.π.R2.h et en déduire la valeur de la constante.
Montrer également que la surface du liquide passe toujours par le cercle de cote Z0 et de rayon √2.R/2
En chaque point du fluide, l'isobare est normal à la force appliquée à l'élément de volume considéré.
Utilisation :
Le programme simule la rotation du récipient cylindrique (R = 10 cm, Z0 = 20 cm) autour de son axe.
En glissant le curseur rouge avec la souris, on peut faire varier la vitesse angulaire.
La force de pesanteur est tracé en vert, celle d'inertie (force centrifuge) en bleu et la résultante en rouge. Celle-ci est normale au plan tangent à la surface du fluide au point considéré.
Les points rouges sont la trace du cercle invariant de la surface du fluide.
En pratique on utilise comme récipient une cuve en forme de parallelépipède rectangle de faible épaisseur qui tourne autour de son axe vertical.