Pour étudier le mouvement d'une planète, on peut comme dans la page sur les forces centrales intégrer numériquement les équations différentielles du mouvement. On peut aussi utiliser les solutions analytiques déduites de la loi de Newton.
Comme technique de résolution, on utilise ici la méthode du vecteur de Runge-Lenz ou vecteur excentricité. Cette méthode rarement présentée dans les cours se prête bien au calcul numérique.
On considère deux objets de masses M et m. On suppose que m est beaucoup plus petit que M et que le centre de masse du système est confondu avec le centre de masse F de la masse M. Soit r le vecteur Fm. La masse déplace sous l'effet d'une force centrale F = − g.M.m.r / r³ = = − k.r / r³.
v est le vecteur vitesse de m, p = m.v son vecteur quantité de mouvement, L = r ∧ p son moment cinétique.
Pour une force centrale en 1 / r², le vecteur L est constant.
L'énergie mécanique totale est E = ½.m.v² − k / r . Elle est constante pour un système isolé.
L et E sont donc définis par la position initiale et par la vitesse initiale.
On considère le vecteur A = p ∧ L − m.k.r / r (vecteur de Runge-Lenz) et le vecteur e = A / m.k (vecteur excentricité).
On montre que pour une force centrale en 1 / r², les vecteurs A et e sont constants en norme et en direction.

Détermination de la trajectoire :
On fait le produit scalaire A.r = A.r.cosθ = r.( p ∧ L) − m.k.r = L.( r ∧ p) − m.k.r = L² − m.k.r
A.r.cosθ = L² − m.k.r peut s'écrire sous la forme : 1 / r = (1 + A.cosθ / m.k) . m.k / L².
C'est l'équation polaire d'une conique avec origine au foyer.
Pour obtenir la forme classique, on pose e = A / mk et p = L² / m.k
L'équation de la trajectoire est donc : r = p / (1 + e.cosθ).
De ces relations, on tire e² = 1 + 2.E.L² / m.k² .
Pour les états liés (énergie négative) e < 1 : la trajectoire est une ellipse. (Un cercle si e = 0)
Pour les énergies positives e > 1 : la trajectoire est une hyperbole.
Si E = 0 alors e = 1 est la trajectoire est une parabole.

Utilisation :

Avec les sliders, on peut faire varier les valeurs initiales de la vitesse de m et sa position initiale.
On peut faire varier la valeur de la constante de force avec la zone de texte.
Toutes les unités sont arbitraires.
Lors du tracé, dans le cas de l'hyperbole, il faut éliminer les points à l'infini.