On considère un cylindre plein de rayon Ra et un cylindre creux de diamètre intérieur Rb. Les deux cylindres sont coaxiaux et leur hauteur est L. Le cylindre intérieur tourne autour de l'axe commun avec la vitesse angulaire ωa ; le cylindre externe tourne avec la vitesse angulaire ωb.
Entre les deux cylindres, on verse un fluide visqueux de viscosité η. On se place dans le cas du régime permanent.
Par définition de la viscosité,la force F qui s'exerce sur l'unité de surface S du fluide est proportionnelle au gradient de vitesse :
F / S = η.dv / dx.
Dans le cas étudié, on utilise les coordonnées cylindriques. La vitesse angulaire ω varie avec r.
S est la surface latérale du cylindre de rayon r : S = 2.π.r.L.
L'expression du gradient est : F / S = η.r. dω / dr .
Le moment de la force est M = F.r = η.2π. r3.L. dω / dr . Il est indépendant d la valeur de r et donc :
K1 = r3. dω / dr est constant. Donc ω = − K1 / 2.r2 + K2.
Les conditions aux limites sont : si r = Ra ,ω = ωa et si r = Rb ,ω = ωb. On tire :
K1 = 2Ra2.Rb2(ωb − ωa) / (Rb2 − Ra2) et K2 = (Rb2.ωb − Ra2.ωa) / (Rb2 − Ra2).
Finalement M = 4 π.η.L.Ra2.Rb2(ωb − ωa) / (Rb2 − Ra2) .
Des dispositifs basés sur ce principe permettent ,en mesurant le moment, de déterminer la valeur du coefficient de viscosité du liquide placé entre les deux cylindres
Utilisation :
L'unité des vitesses angulaires et celle des rayons des cylindres sont arbitraires.
La liste de choix permettent la sélection de la vitesse du cylindre externe.
Les sliders permettent de modifier la vitesse du cylindre interne et la valeur de son rayon.
La courbe de droite représente la variation de ω en fonction de la distance à l'axe de rotation.
Cliquer sur le bouton [Départ] pour réinitialiser le système.
Les points rouges figurent le déplacement d'un élément de liquide au cours du temps.