On considère deux fils rectilignes illimités, normaux au plan de figure, qui portent des charges linéiques λ et − λ. Les coordonnées des traces des fils dans le plan sont O (a, 0) et O' (−a, 0).
En appliquant le théorème de Gauss à un cylindre de rayon r entourant un fil puis en utilisant la relation dV = − E dr, montrer qu'en un point M du plan distant des fils de r1 et r2, on a :
Le vecteur u est le vecteur unitaire sur la droite joignant la trace d'un fil et le point M.
Pour tracer les lignes de champ (courbes auxquelles est tangent le vecteur champ électrique), on part d'un point voisin d'une charge et on trace un petit segment dont l'orientation est celle du champ au point étudié et dont la longueur est proportionnelle à sa valeur. On répète le processus jusqu'à la sortie de l'épure.
Pour tracer les équipotentielles, on trace les courbes de niveau du potentiel.
Nature des équipotentielles :
Les coordonnées de M sont x et y. En posant k = (r2 / r1)2, montrer que :
Si k est constant, c'est l'équation d'un cercle : les équipotentielles sont des cercles dont le centre est sur Ox..
Pour les géomètres
Les équipotentielles sont les courbes V = Const soit r2 / r1 = Const = exp(2πε0.V / λ) .
Dans le plan de figure, cette relation définit un faisceau de cercles dont les points limites sont O et O'.
Les lignes de champ partent de la ligne positive et arrivent à la ligne négative. Elles sont normales aux équipotentielles et forment dont un faisceau de cercles orthogonal au précédent.
Pour un faisceau de points limites O et O', un cercle du faisceau qui coupe OO' en A et B, les points A, B O et O' forment une division harmonique et : AO / AO' = − BO / BO'
Utilisation :
Si l'on presse un bouton de la souris dans le cadre du dessin, et si l'on glisse la souris, on affiche avec des unités arbitraires les valeurs du champ et du potentiel au niveau du pointeur ainsi que le vecteur champ électrique.
Les lignes de champ électrique sont tracées en jaune. Les équipotentielles positives sont en rouge. Les équipotentielles négatives sont en bleu.
L'équipotentielle 0 est tracée en vert. Montrer que cette équipotentielle est confondue avec Oy.
Comparer avec les champ et potentiel pour une paire de charge ponctuelles.