Dans une enceinte sous vide, on injecte des protons (masse m et charge q) avec une vitesse initiale V0. On applique un champ magnétique uniforme B selon la direction Oz et un champ électrique uniforme E dans la direction Oy. On étudie la trajectoire des protons.
L'influence de la pesanteur est négligeable devant les autres forces.
L'équation générale du mouvement est donc : m.a = q.E + q(V ^ B).
On pose :
ω = qB / m (pulsation synchrotron) ; C = [Vx0 − E/B] / ω et D = Vy0 / ω
On montre (voir le fichier pdf) que :
Si B = 0
x = V0x.t ; y = q.E.t² / 2m + V0y.t ; z = V0z.t ;
Et que dans les autres cas :
x = E.t / B + C.sin(ωt) + D.[ 1 − cos(ωt)]
y = D.sin(ωt) − C.[ 1 − cos(ωt)]
z = V0z.t
Selon les conditions initiales, on peut avoir une grande diversité de trajectoires :
Cercles, droites, paraboles, cycloïdes diverses, spirales simples et inclinées.
Utilisation :
En pressant le bouton gauche de la souris dans le cadre et en glissant la souris, on modifie l'angle de vue du repère.
Avec les sliders, on peut modifier les valeurs de B (axe Oz), de E (axe Oy) et les trois composantes de la vitesse initiale V0. Toutes les unités sont arbitraires.
Le mode de tracé utilisé permet de modifier l'angle d'observation pendant le tracé de la trajectoire. Un trait gris joint l'origine au point courant de celle-ci.
Si l'animation s'arrête (indice maximum des tableaux atteint), il faut cliquer sur le bouton [Départ] pour la relancer.
Etudes possibles :
B = 0. Tester V0 = 0 et V0 orientée selon un axe, puis dans les plans xOy, xOz et yOz.
E = 0. Tester V0 = 0 et V0 orientée selon un axe, puis dans les plans xOy, xOz et yOz.
B et E non nuls. Tester V0 = 0 et V0 orientée selon un axe, puis dans les plans xOy, xOz et yOz.
Examiner aussi les cas : C = [Vx0 − E/B] / ω = 0 et D = Vy0 / ω = 0.
Essayer de justifier les phénomènes observés sans faire de calculs.
Exemple : B et E non nuls et V0 = 0. Au départ comme la vitesse est nulle B est sans effet et la particule se déplace dans la direction de E. Sa vitesse augmente et B courbe sa trajectoire qui devient normale à E. Ensuite E freine la particule jusqu'à ce que la vitesse s'annule et le cycle recommence.