On considère le système ci-dessus constitué par deux masses M₁ et M₂ reliées par un fil inextensible de longueur y + D + L.
(y + L = Const).
Soit K = M₁ / M₂ le rapport des masses
On suppose que le diamètre de la poulie de droite est négligeable.

A l’instant initial t = 0, on libère la masse M₂. (L = L₀, Φ= Φ₀) avec une vitesse initiale radiale VR₀ et une vitesse initiale normale VN₀.

Consulter la page pdf pour la mise en équation de ce système. 

Seule une résolution numérique est envisageable.
Nous avons utilisé la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.

 

 

Remarques : 1)- L'hypothèse sur le diamètre de la poulie de droite rend difficile la réalisation pratique du dispositif. 2)- Si L devient très petit l'intégration numérique peut diverger (voir l'équation (2)). 3)- Dans quelques cas on peut prévoir simplement le résultat mais en général les trajectoires de la masse M2 sont complexes et imprévisibles à cause du couplage important entre les accélérations normales et radiales.

Cas particuliers :

1)- Si Φ₀ et VN₀ sont nuls, Φ reste nul : on obtient une machine d'Atwood. Les masses ont un mouvement uniformément accéléré.
2)- Si K est inférieur à 1,  M₂ descend en oscillant avec une période qui diminue (L croissant en permanence)

Utilisation :  
Le programme représente le mouvement de la masse M₂ au cours du temps.
Deux listes de choix permettent la modification de l'échelle du tracé et du pas d'intégration.
En principe la valeur par défaut de l'incrément de temps entre deux intégrations (la valeur 1 correspond à 1 / 50 s ) permet de traiter la majorité des cas. Mais si L devient très petit le système peut diverger. On peut alors diminuer l'incrément de temps. Faire de même si la trajectoire présente des points anguleux.
Avec les zones de texte, il est possible de modifier les valeurs initiales de K, L, Φ et VN.
0 < K < 5;    0,1 < L₀ < 2;  −90° <Φ₀ < 90°;  −2 < VA₀ < 2;
Le système offre une grande variété de trajectoires possibles souvent imprévisibles : expérimentez.

Remarques :
Le système décrit ne peut fonctionner tel quel. Il faut utiliser des poulies avec des roulements à billes pour limiter les frottements.
Il faut aussi admettre que le fil reste toujours tendu. Or pour des valeurs de K supérieures à 1,6 Φ peut dépasser 90° et M₂ peut même faire le tour de la poulie !

Pour la réalisation d'un dispositif fonctionnel on pourra consulter :
https://fablab.sorbonne-universite.fr/wiki/doku.php?id=wiki:projets:3p024:projet2