On considère un objet ponctuel de masse M placé dans un champ de pesanteur uniforme vertical qui glisse sans frottement et sans vitesse initiale sur une courbe reliant deux points fixes O (0, 0) et A (a, −b).
Quelle est la courbe pour laquelle le temps de parcours entre O et A est minimal ?
Ce problème a été résolu par les mathématiciens ayant développé le calcul différentiel (Leibniz, Newton, L'Hospital).
On peut montrer que ce problème correspond à l'équation : ds / dx = C / |y|^½ .
La solution est :
x = R.(ψ − sinψ)
y = R.(cosψ − 1) avec ψ = (g / R)^½.t
C'est l'équation d'une cycloïde dont la tangente à l'origine est verticale.

Détermination de la cycloïde :
Soit Ψ l'angle qui correspond au point A.
a = R.(Ψ − sinΨ) (1)
b = −R.(cosΨ − 1) (2)
Le quotient de ces deux relations donne une équation transcendante dont la résolution numérique fournit la valeur de Ψ.
La relation (2) permet alors de déterminer R.

L'animation
On a représenté la cycloïde, la droite OA et une ligne brisée joignant les points O, B (a /2, 2b / 3) et A.
L'animation simule le déplacement des points matériels sur leurs trajectoires.
Pour la droite OA et la ligne OBA, on retrouve la chute sur un plan incliné.
On peut noter que pour les faibles valeurs de a, les temps de parcours sont très proches (on se rapproche dans ce cas de la chute libre).
Si la pente entre O et A est inférieure à 2 / π, la cycloïde a une partie qui remonte mais c'est quand même la courbe donnant le temps de parcours le plus court.
On peut remarquer le rôle de la valeur de l'accélération initiale qui est toujours g pour la cycloïde.