On considère un objet de masse M₁ = 1 kg qui repose sur un plan incliné et qui est relié à une masse M₂ par un fil inextensible passant sur une poulie. On fait l'hypothèse (fausse voir cette page ) que les coefficients de frottements statique et dynamique ont la même valeur µ.
On doit envisager deux possibilités : le système est en équilibre ou en mouvement.

Système en mouvement
Le bloc glisse sur le plan dans la direction Ox. L'équation du mouvement de M₂ est : M₂.g − T = M₂.γ
L'équation du mouvement de M₁ est : T − M₁.g.sinθ − F = M₁.γ (selon Ox)
Dans la direction normale à Ox, si N désigne la réaction du plan, on a : N = M₁.g.cosθ
La force de frottement est F = µN = µ.M₁.g.cosθ . Elle est toujours opposée à l'accélération.
Si l'accélération est positive (M₁ se déplace vers le haut) on a : γ = g.(M₂ − M₁.sinθ − µM₁.cosθ) / (M₁ + M₂) .
Si elle est négative γ = g.(M₂ − M₁.sinθ + µ.M₁.cosθ) / (M₁ + M₂)

Système en équilibre
M₂ est immobile donc M₂.g = T .
La composante suivant Ox du poids de M₁ est M₁.g.sinθ .
Si M₂.g > M₁.g.sinθ , on a M₂.g − M₁.g.sinθ − F = 0. (a)
Si M₂.g < M₁.g.sinθ , on a M₂.g − M₁.g.sinθ + F = 0. (b)
Enfin si M₂.g = M₁.g.sinθ , F = 0.

Rôle des paramètres
On pose m = M₂ / M₁.
La relation (a) devient m − sinθ − µcosθ = 0.
Par élévation au carré, on obtient : (1 + µ²).sin²θ − 2.m.sinθ + (m² − µ²) = 0.
La relation (b) conduit à la même expression.
On pose Δ = (1 − m² + µ²)^½.
Pour Δ > 0 les solutions sont sinθ = (m ± µΔ) / (1 + µ²).
Exemple : µ = 0,5 et m = 0,75. L'angle θ_m = 15,6° est solution de (b) et l'angle θ_M = 68,7° est solution de (a).
Pour toute valeur de θ non comprise entre θ_m et θ_M le système n'est pas en équilibre.

Si Δ est négatif, le système est en mouvement pour toutes les valeurs de θ.

Utilisation
Examiner tous les cas possibles en faisant varier les valeurs de µ, m et θ.