Dans certains circuits de montagnes russes, la piste présente une boucle verticale. Pour que les véhicules puissent parcourir cette boucle sans quitter les rails, il faut que leur vitesse initiale à l'entrée de la boucle soit assez grande.
Equations du mouvement :
On assimile le véhicule à un point matériel P de masse M et on néglige les frottements.
Soient C le centre du cercle et θ l'angle entre CP et la verticale et V0 la vitesse du mobile à l'entrée de la boucle.
Soient i le vecteur unitaire suivant CP et j le vecteur unitaire normal à CP en P.
Soient a l'accélération de P et N le vecteur réaction du support.
Comme on néglige les frottements, N est normal à la trajectoire. Ce vecteur donc est radial.
Le principe fondamental de la dynamique donne :
Ma = N + Mg.
La vitesse du mobile est :
V = R. θ'. j
et son accélération est :
a = − R.θ' 2.i + R.θ''.j.
En projettant sur CP on tire : − M.R.θ' 2 = − N + M.g.cos(θ)
Soit : N = M.R.θ' 2 + M.g.cos(θ) (a)
La conservation de l'énergie mécanique permet d'écrire :
½(M.V2 − M.V02) = − M.g.R(1 − cos(θ)).
Donc : θ' 2 = − (V0 / R)2 − 2.g.(1 − cos(θ)) / R (b)
De (a) et (b), on tire :
N = M.V02 / R + M.g.(3.cos(θ) − 2) (c)
Mouvements possibles :
On remarque que :
- La vitesse angulaire et donc la vitesse s'annulent pour un angle θ1 tel que cos(θ1) = 1 − V02 / 2Rg.
- La réaction du support N s'annule pour un angle θ2 tel que cos(θ2) = (2 − V02 / 2Rg) / 3 = (2/3).cos(θ1).
L'angle θ1 est donc inférieur à l'angle θ2.
L'angle θ1 existe si V0 < (4Rg)½. L'angle θ2 existe si V0 < (5Rg)½.
* Si V0 < (2Rg)½ la vitesse s'annule mais la réaction du support reste positive : Le mobile reste en contact avec la boucle et rebrousse chemin.
* Si (2Rg)½ < V0 < (5Rg)½ la vitesse reste positive mais la réaction du support s'annule : La mobile quitte la boucle est tombe en chute libre. (Chute libre avec la vitesse initiale V).
* Si V0 > (5Rg)½ la réaction du support reste positive et le mobile peut décrire la boucle sans quitter le support.
Remarque :
Les frottements modifient uniquement les valeurs des vitesses qui correspondent à une modification du type de mouvement.
N vecteur réaction du support est tracé en bleu et la vitesse en vert.