On étudie un pendule constitué d'une masse M suspendue à un fil de longueur L₀ = 1 m qui est attaché en O au sommet d'un cylindre de rayon R. Quand on écarte le pendule de sa position initiale, il oscille et comme le fil s'enroule sur le cylindre, on obtient un pendule à longueur variable dont la masse M décrit une spirale.
On néglige tous les frottements : L'énergie mécanique du pendule est constante.
On pose θ l'angle entre la partie libre du fil et la verticale. (θ est négatif quand le pendule est à gauche de la verticale).
La vitesse initiale est toujours nulle.
La longueur libre du fil est L = L₀ − π.R / 2 − R.θ
L'expression de l'énergie potentielle est Ep = −M.g.(R.sinθ + L.cosθ).
Celle de l'énergie cinétique est : Ec = ½.M.(L.θ')².
Du Lagrangien, on déduit l'équation du mouvement : g.sinθ − R.θ'² + L.θ'' = 0

Cette équation est résolue numériquement par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.
Pour avoir la certitude que le fil reste tendu, on limite la valeur maximale de θ à 90°.
La valeur minimale de l'angle initial est déterminée par une méthode de zéro.
Comme il n'y a pas de frottements, l'altitude finale atteinte (partie droite) est égale à l'altitude initiale.

Utilisation
Modifier les valeurs du rayon du cylindre et de l'angle initial avec les sliders.
Sur la partie droite de la figure, on trace le portrait de phase du dispositif.
On peut constater que pour les faibles valeurs de R, le portrait de phase tend vers une ellipse qui correspond à un système harmonique.