On considère un pendule simple de longueur L, de masse M avec un frottement visqueux de coefficient k.
La tige de suspension est rigide et sa masse négligeable.
L'équation du mouvement est (voir la page pendule) est :
M.L².θ"(t) + M.L.g.sinθ(t) + k.θ'(t) = 0. (a)
Le mouvement du pendule pour les oscillations de faible amplitude est périodique de pulsation ω = (g / L) ^½.

Si le pivot du pendule est animé d'un mouvement vertical y = y0.sinΩ.t, ce mouvement ajoute une accélération verticale à celle de la gravité. Dans l'équation (a), il faut remplacer g par par G = g + y"(t) = g − Ω².y0.sinΩ.t.
On obtient une équation différentielle non linéaire qui est intégrée par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 à pas constant.
On suppose que la vitesse initiale est toujours nulle.

Le système est fortement non linéaire et son comportement peut devenir chaotique quand la valeur de y" n'est plus négligeable devant celle de g.
Examiner les cas suivants (en limitant α à 50°) :
Ω voisin de ω / 2
Ω voisin ou légèrement inférieur à ω.
Ω voisin de 2.ω, 3.ω
Expliquer les résultats ainsi obtenus.
Examiner la relation entre les effets des valeurs de la masse et du coefficient de frottement.

On pourra comparer ce système avec le pendule suspendu à un chariot mobile où le pivot du pendule subit une accélération horizontale et non verticale.

Dans l'application on utilise un pas d'intégration constant (0,05 s). Quand y"(t) n'est plus beaucoup plus petit que g ce pas est trop grand et l'intégration diverge rapidement.