Rappels
ℜ est un repère absolu (O, i, j, k).
ℜ' est un repère relatif (O', i', 'j, k') qui se déplace avec un mouvement de translation uniforme dans ℜ avec la vitesse c.
Un mobile M se déplace dans ℜ' avec une vitesse relative v.
La vitesse de M dans le repère absolu ℜ est V = v + c.

Traversée d'un fleuve
La vitesse du courant d'un fleuve de largeur L est c = c.i. On admet que cette vitesse est uniforme sur toute la largeur du fleuve.
Un bateau se déplace dans le fleuve avec la vitesse relative v. Sa vitesse par rapport au sol est donc V = v + c.
φ est l'angle entre l'axe horizontal et la vitesse v. Par projection sur les axes, on tire :
Vx = c + v.cos(φ) et Vy = v.sin(φ)
Les coordonnées du bateau sont donc x =(c + v.cos(φ)).t et y = v.sin(φ).t

Durée de la traversée :
Elle est indépendante de c et vaut T = L / v.sin(φ)

Déviation du bateau :
X = (c + v.cos(φ)).T = (c + v.cos(φ)) / sin(φ).
Pour une traversée optimale dans les deux sens, il faut que X soit nul soit c + v.cos(φ) = 0 ou cos(φ) = − c / v.
Ceci n'est possible que si v > c. Montrer que la durée de la traversée est T = L / (v² − c²)^½
Dans le cas ou v < c, X ne peut être nulle mais présente une valeur minimum si la dérivée dX / dφ est nulle.
Montrer que ceci se produit pour cos(φ) = − v / c.

Cas particulier.
Si φ = 0° ou φ = 180° le bateau suit ou remonte le fil du courant. On a alors V = c + v ou V = c − v.