L'amplitude des oscillations d'un oscillateur harmonique amorti diminue avec le temps (voir le pendule de torsion). Pour obtenir une amplitude d'oscillation constante x, il faut forcer le coefficient d'amortissement à changer de signe lorsque l'amplitude s'écarte de la valeur xc de la consigne choisie. Une façon d'y parvenir est d'utiliser un oscillateur de van der Pol.
En régime libre cet oscillateur obéit à l'équation :
En régime forcé, le second membre vaut V.sin(ω.t).
La forme retenue pour le coefficient de dx(t) / dt (le facteur d'amortissement) permet d'atteindre le but cherché. Si ce coefficient est positif, il y a amortissement ; quand il est négatif, il y a amplification : le milieu extérieur doit alors fournir de l'énergie au système.
L'équation différentielle de Van der Pol n'est pas linéaire et n'a pas de solution analytique. Elle doit être intégrée numériquement.
Il est possible de réaliser un oscillateur de ce type avec quelques circuits électroniques ( par exemple page 23 de cet article)
Utilisation :
L'équation différentielle est intégrée par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 avec un pas assez petit pour assurer une solution stable. Des zones de textes permettent de modifier la valeur du coefficient d'amortissement, l'amplitude de consigne et de l'amplitude initiale (la vitesse initiale est toujours nulle).
En mode forcé, un slider permet de modifier le rapport k = ω / ω0 et une zone de texte permet de modifier la valeur de l'amplitude de la tension excitatrice.
Un bouton permet de visualiser soit l'amplitude en fonction du temps soit le diagramme de phase (vitesse en fonction de l'amplitude).
Pour des faibles valeurs de l'amortissement (et donc de l'amplification) le système fonctionne en régime sinusoïdal. L'attracteur ou cycle limite (voir le diagramme de phase) est une ellipse.
Pour λ = 0, on retrouve un oscillateur harmonique non amorti.
Par contre pour les valeurs élevées de λ, le signal ressemble à des oscillations de relaxation et la forme du cycle limite se rapproche d'un rectangle.
En mode forcé
avec un fort amortissement effectuer lentement un balayage des valeurs de k et observer des zones "critiques".
( par exemple tester λ = 3, Xi = −0.2, Xc = 0,75 et V = 1 et k voisin de 1,17)
Expérimentez.