Deux cylindres identiques, horizontaux et parallèles tournent autour de leurs axes avec des vitesses angulaires opposées.
Sur ces rouleaux repose une plaque rectangulaire de masse m et d'épaisseur négligeable. Soit 2L la distance entre les génératrices (A et B) de contact de la plaque avec les rouleaux.
On prend comme origine le milieu de AB et soit X la distance du centre de gravité G de la plaque à l'origine. On suppose que les coefficients de frottement de la plaque avec les rouleaux μ1 et μ2 sont indépendants de la vitesse.
Si l'on pose la plaque sur les rouleaux avec une valeur initiale de X différente de 0 la plaque se met à osciller.
Etudes des forces de liaison :
Soient N1, N2 les composantes normales et T1, T2 les composantes tangentielles des forces de liaison.
La plaque restant horizontale, les moments des forces autour des points A et B sont nuls.
Mt(A) = −(L + X)m.g + 2.L.N2 = 0. Mt(B) = (L − X).m.g − 2L.N1 = 0.
N1 = mg(L − X) / 2.L et N2 = mg(L + X) / 2L.
La somme des composantes normales est bien égale au poids mg de la plaque.
La valeur des composantes tangentielles est donc d'après la définition des coefficients de frottement : T1 = μ1.N1 et T2 = μ2.N2
Mouvement de la plaque :
On applique à la plaque le principe fondamental de la dynamique : mX" = T1 − T2 = μ1.N1 − μ2.N2
On tire : X" + (μ1 + μ2).X.g / 2L = (μ1 − μ2).g / 2
Si μ1 = μ2 = µ le second membre est nul et la solution générale est X = A cos (ω.t − B). Les constantes A et B se calculent à partir des conditions initiales.
La plaque oscille avec une période T = 2π.(L / µ.g)½ .
Si les coefficients de frottements sont différents, il faut ajouter à la solution générale une solution particulière telle que :
X = X0 = constante.
Le mouvement est également oscillatoire mais le centre de vibration est décalé de X0.
Utilisation :
La case à cocher permet de visualiser les forces.
J'ai autrefois réalisé cette manipulation avec des engrenages et un moteur "Meccano". Le fonctionnement est conforme à la théorie.