On considère une bille en acier de masse volumique ρ = 7,9 g / cm3 et de rayon R. On laisse tomber (sans vitesse initiale) cette bille dans une tube rempli de glycérine (masse volumique μ = 1,24 g / cm3 et viscosité η = 10 poises à température ambiante).
La dimension d'une viscosité est M. L−1. T −1.
La poise correspond à 1 gramme.seconde−1.centimètre−1;
L'unité légale de viscosité est le poiseuille ou Pa.s .
La bille est soumise à son poids P, à la poussée d'Archimède Pa et à la force de freinage exercée par la glycérine sur la bille.
Dans un milieu visqueux la force de frottement est proportionnelle à la vitesse du mobile.
Cette force est donnée par la relation de Stockes.
Si l'on considère un axe vertical Oz orienté vers le bas cette force s'écrit : FZ = − 6π.η.R.dz / dt.
Le principe de la dynamique donne :
M.d2z / dt2 = M.g − M.g.μ / ρ − 6π.η.R.dz / dt
En divisant par la masse, on obtient :
d2z / dt2 = g (1 − μ / ρ − 9η / (2R2ρ).dz / dt.
Quand la vitesse augmente, le terme de frottement croît : la valeur de la vitesse tend vers une valeur limite.
L'équation différentielle du mouvement est intégrée numériquement ce qui permet de tracer les courbes z(t) et Vz(t).
Plus le rayon de la bille est petit et plus la vitesse limite est atteinte rapidement.
Remarque : la valeur de η décroît fortement quand la température augmente.
Utilisation :
Le slider permet de modifier le rayon de la bille. La courbe en bleu correspond à la hauteur de chute.
Celle en rouge à la valeur de la vitesse.
Exercice : calculez la valeur de la vitesse limite (attention aux unités !).