Description :
Le pendule de Wilberforce montre le couplage des oscillations de rotation et de translation sur un système ressort hélicoïdal et masse.
L'origine du couplage des oscillations résulte de la géométrie du ressort. Un mouvement longitudinal entraîne la torsion du ressort, ce qui entraîne une oscillation de rotation. La rotation entraîne soit un étirement, soit une contraction du ressort, ce quiprovoque alors une oscillation longitudinale.
Si certaines conditions sont satisfaites, quand la masse initialement au repos est soulevée puis lâchée vers le bas elle commence par osciller verticalement puis transfère son énergie en une oscillation rotatoire..
En raison de la structure hélicoïdale du ressort il existe un couplage γ linéaire entre la déformation longitudinale et la déformation en torsion du ressort.
Si la raideur du ressort est K, son coefficient de torsion C et si I est le moment d'inertie de la masse M, les fréquences propres des modes propres sont :
- pour le mouvement vertical ω2z = K / M
- pour la rotation ω2θ = I / C.
Pour une étude complète du pendule, on peut consulter l'article :
R. E. Berg and T. S. Marshall, "Wilberforce Pendulum Oscillations and Normal Modes,"
American Journal of Physics, 59(1), 1991 pp. 32–38.
De l'équation de Lagrange et en posant λ2 = γ / M.I, on tire l'équation (1) et une équation identique en z.
En supposant que les solutions sont du type de l'équation (2), on tire l'équation (3)
La solution de l'équation (3) est la combinaison de 4 exponentielles complexes (4).
Système résonant :
Dans le cas général les mouvements du pendule sont la combinaison de quatre sinusoïdes de fréquences et d'amplitudes différentes.
L'étude de la relation (4) montre que si les fréquences
ω2z et ω2θ sont égales à ω0 et si le terme λ est très inférieur à ω0 alors :
il existe deux modes propres ω1≈ω0 + λ / 2ω0 et ω2 ≈ω0 + λ / 2ω0
On arrive à l'égalité des fréquences en modifiant les caractéristiques du ressort (module de Poisson, rayon du fil, rayon des spires, nombre de spires) sur la masse et sur son moment d'inertie.
Des masselottes ajustables permettent un réglage fin.
Un choix correct des conditions initiales (élongation pure, vitesses initiales nulles) permet d'obtenir des mouvements du type :
z(t) = z0(cos(ω1.t) + cos(ω2.t))
θ(t) = θ0(sin(ω1.t) − (sins(ω2.t))
Dans ce cas, le transfert d'énergie entre l'oscillation verticale et la rotation est total.
Il existe différents dispositifs commerciaux permettant l'étude de ce pendule.