Le projecteur de Mangin est un bel exemple de système dans lequel on utilise la compensation des aberrations pour obtenir un dispositif presque parfait. On utilise ici la compensation de l'aberration de sphéricité d'un miroir sphérique et celle d'un dioptre sphérique pour obtenir un système donnant d'une source ponctuelle un faisceau cylindrique. Ce dispositif qui n'utilise que des surfaces sphériques est beaucoup plus facile à réaliser techniquement qu'un miroir parabolique qui donnerait le même résultat.

Miroir sphérique
On utilise un miroir sphérique de rayon R2 et de centre C2.
Si l'on place la source S au foyer image F du miroir situé à la distance R2 / 2 de C, on obtient pour les rayons incidents peu inclinés sur l'axe un faisceau cylindrique mais un faisceau convergent pour des rayons plus inclinés.
Quand la source est placée avant le foyer, on obtient une image réelle de la source objet, mais à cause des aberrations, le miroir donne du faisceau conique issu de S un faisceau de révolution tangent à une caustique réelle Cm.
Pour permettre leur identification, les rayons incidents sont tracés en rouge et les rayons réfléchis en vert.

Dioptre sphérique
On considère un dioptre sphérique de rayon R1 et de centre O séparant un milieu d'indice 1 à gauche d'un milieu d'indice N à droite.
On éclaire ce dioptre avec un faisceau cylindrique de grande ouverture et coaxial avec l'axe optique du dioptre. Après réfraction, le faisceau émerge en donnant un faisceau de révolution tangent à une caustique virtuelle Cd dont le sommet est le foyer image F' du dioptre, tel que SF' = SC2. N / (N − 1).
Selon le principe du retour inverse de la lumière, si on éclaire le dioptre avec un faisceau de révolution tangent à la caustique Cd, on obtient après réfraction un faisceau cylindrique.
Les caustiques Cm et Cd ayant des formes très voisines, le faisceau incident sur le dioptre peut être fourni par le miroir.
L'ensemble transforme un faisceau conique en un faisceau cylindrique.
Pour permettre leur identification, les rayons réels sont tracés en rouge et les rayons virtuels en jaune

Superposition du dioptre et du miroir
Si l'on superpose les deux systèmes, on peut constater que les formes des caustiques sont effectivement très voisines. En agissant sur les divers curseurs on peut pratiquement superposer ces deux caustiques.
A priori, il est souhaitable de placer la source au centre du dioptre.
Dans ces conditions, il faut que l'image de O dans le miroir soit le foyer image F' du dioptre.
Les relations de conjugaison des miroirs sphériques donnent : 1 / R1 + (N − 1) / N.R1 = 2 / R2
Soit : R2 / R1 = 2N / (2N − 1) .

Projecteur
On utilise un ménisque concave dont les rayons de courbure sont R1 et R2. La face arrière est argentée pour constituer le miroir sphérique. Les valeurs trouvées précédemment par le calcul ne tiennent pas compte de l'épaisseur du ménisque.
Ajuster les valeurs de R2 et de l'épaiseur pour obtenir le meilleur résultat.
Le programme affiche la pente des rayons émergents. On peut constater que pour un choix correct, les valeurs varient entre 7.10⁻⁴ et 3.10⁻³ .
On pourra comparer ce projecteur avec la lentille à échelons de Fresnel beaucoup plus utilisée.

Données utilisées
R1 = 50 cm. N = 1,54