On envisage les possibilités de remplissage de l’espace par des sphères identiques, tangentes entre elles, avec un maximum de compacité. On cherche à construire des plans réticulaires ayant le maximum de densité. On obtient dans le plan une compacité maximum en plaçant les centres des sphères sur les noeuds d’un réseau hexagonal : chaque sphère du plan est tangente à six autres sphères. Pour placer le plan suivant on peut remarquer qu’entre les sphères de chaque plan il peut exister 1, 2 ou 3 points de tangence. La compacité est évidemment maximum quand chaque sphère B du plan supérieur est tangente à 3 sphères A du plan initial. Selon la position du troisième plan, deux assemblages sont possibles qui conduisent à des assemblages de grande compacité et donnent les structures « Hexagonal compact » et « Cubique compact ».
Si D est le diamètre d'une sphère, les paramètres de la maille hexagonale sont a = b = D. Si on prend l'origine sur le centre d'une sphère du premier plan (site A), la cote d'un site B est D.(2 / 3)½. (hauteur du tétraèdre d'arête D).
Afficher la maille hexagonale en cochant la case.
Les coordonnées réduites des sites B sont soit : 1 / 3, 2 / 3 , 1 / 3 (point vert) soit : 1 / 3, 2 / 3 , 1 / 3 (point rouge).
Les deux empilages AB et AC sont identiques à une rotation π / 3 près.
Si on réalise un empilage ABAB... on obtient une maille finale hexagonale avec a = b = D; c = 2 D.(2 / 3)½.
Le rapport c / a est donc égal à 2 (2 / 3)½ = 1,63299.
On réalise un assemblage hexagonal compact.
Si on réalise un empilage ABCABC...(sites B = 1 / 3, 2 / 3 , 1 / 3 et sites C = 1 / 3, 2 / 3 , 2 / 3) , on obtient une maille finale hexagonale avec a = b = D; c = 3 D.(2 / 3)½.
Le rapport c / a est alors égal à 3 (2 / 3)½ = 2,4495
En fait la symétrie de cet assemblage est cubique avec a = b = c = D.(2)½ .
La normale aux plans est un axe ternaire de la maille cubique.
Pour le voir, cocher la case "Maille cubique". Les deux diagonales du losange ayant un coté jaune, un coté noir et deux cotés rouge ont la même longueur D : ce losange est un carré. Les traits noir, jaune et vert sont les projections sur le plan des axes de la maille cubique.
On réalise un assemblage cubique compact pour lequel chaque axe ternaire est une direction de compacité maximum.
Remarques
D'autre séquences sont possibles. Plusieurs
lanthanides présentent la séquence ABAC.
Pour toutes les variantes le taux de remplissage de l'espace est le même : π / 3.2½ soit 74% .