Une chaîne linéaire illimitée est constituée d'atomes identiques de masse m, séparés à l'équilibre par la distance a. Une perturbation longitudinale modifie de U_n << a la position de l'atome n. On modélise les interactions entre les atomes par une force de rappel (équivalente à un ressort de raideur K) limitées aux premiers voisins.
La relation fondamentale de la dynamique appliquée à l'atome n donne :

md²U_n / dt² = K(U_n+1 − U_n) − K(U_n − U_n-1) = K(U_n+1 − 2U_n + U_n-1) (1)

Comme la chaîne est illimitée, il n'y a pas de conditions aux limites. Une onde progressive sinusoïdale se propage dans le milieu. Si on néglige l'amortissement l'amplitude de vibration A de tous les atomes est identique et U_n = A.cos(k.n.a -ω.t).
On tire : m(−ω²) = −2K.cos(1 − cos(ka)) soit ω = 2H.|sin(ka / 2)| avec H = (K / m)^½ .
La fonction  ω(k) n'étant pas linéaire, il y a dispersion.
La pulsation maximale qui peut se propager est ω_M = 2H et correspond à k = π / a. Pour cette valeur, deux atomes successifs vibrent en opposition de phase.
La vitesse de phase ω / k = 2Hsin(ka / 2) / k tend vers a.H si k tend vers 0 et vers H.2a / π quand k tend vers π / a.
La vitesse de groupe dω / dk = aHcos(ka / 2) tend vers a.H si k tend vers 0 et vers 0 quand k tend vers π / a :
Pour les grandes longueurs d'onde, il n'y a plus de dispersion et pour k = π / a, il n'y a plus de propagation.

Chaîne limitée d'extrémités immobiles : L'équation de propagation est identique à celle du cas précédent mais dans ce cas, les conditions aux limites imposent la présence d'ondes stationnaires. Si la chaîne comporte 2N+1 atomes et si on prend l'origine sur l'atome central, les atomes N et - N doivent rester immobiles.
Pour l'atome n l'onde incidente vaut A.exp(-ikna) et l'onde réfléchie B.exp(ikna).
En partant de l'équation (1), montrer, en écrivant que les atomes N et - N sont immobiles, que :
 k_p = p.π / 2Na. (p entier avec 0 < p < 2N+1)
Il n'existe qu'un nombre fini de valeurs possibles pour ω = 2Hsin(pπ/ 4N).
Pour les modes pairs montrer que B = −A et que pour les modes impairs B = A.

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Utilisation :
Les cases à cocher permettent de sélectionner soit une chaîne illimitée soit une chaîne limitée dont les extrémités sont fixes.
Le bouton [Pause] permet le gel puis la reprise de l'animation.
Chaîne illimitée : L'onde est progressive. Le curseur vert permet de faire varier le nombre d'onde k entre 0 et π / a. (a =30).
Pour les faibles valeurs de k on peut considérer une longueur d'onde λ = 2π / k qui n'a de sens que si λ >> a.
Pour les grandes valeurs de k, on constate que deux atomes voisins vibrent en opposition de phase.

Chaîne limitée : L'onde est stationnaire. Le curseur vert permet de faire varier le nombre  p entre 1 et 2N. (N = 50).
Le nombre d'onde k est donné par k = pπ / 2Na.
Pour les valeurs impaires de p, Un = 2A.cos(kna).cos(ω.t). Le centre correspond à un ventre de vibration.
Pour les valeurs paires de p, Un = 2A.sin(kna).cos(ω.t). Le centre correspond à un nœud de vibration.
Seule une partie de la chaîne est visualisée.

Comme il est plus difficile de visualiser une vibration longitudinale qu'une vibration transversale, j'ai représenté en dessous de la chaîne un graphe dont les ordonnées indiquent les amplitudes des déplacements des atomes.
La courbe qui joint les différents points n'est qu'un simple guide pour les yeux car le milieu est discontinu.